Question

【题目】已知P为⊙O上一点，过点P作不过圆心的弦PQ，在劣弧PQ和优弧PQ上分别有点A、B(不与P、Q重合)，连接AP、BP，若∠APQ=∠BPQ

（1）如图1，当∠APQ=45°，AP=1，BP=2时，求⊙O的半径。

（2）如图2，连接AB，交PQ于点M，点N在线段PM上（不与P、M重合），连接ON、OP，设∠NOP=α，∠OPN=β，若AB平行于ON，探究α与β的数量关系。

Answer 1

【答案】（1）；（2）α+2β=90°，见解析

【解析】

（1）连接AB，由已知得到∠APB=∠APQ+BPQ=90°，根据圆周角定理证得AB是⊙O的直径，然后根据勾股定理求得直径，即可求得半径；

（2）连接OA、OB、OQ，由证得∠APQ=∠BPQ，即可证得OQ⊥ON，然后根据三角形内角和定理证得2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，，即可证得α+2β=90°．

（1）连接AB，

∵∠APQ=∠BPQ=45°，

∴∠APB=∠APQ+BPQ=90°，

∴AB是⊙O的直径，

∴AB=，

∴⊙O的半径为；

（2）α+2β=90°，

证明：连接OA、OB、OQ，

∵∠APQ=∠BPQ，

∴，

∴∠AOQ=∠BOQ，

∵OA=OB，

∴OQ⊥AB，

∵ON∥AB，

∴NO⊥OQ，

∴∠NOQ=90°，

∵OP=OQ，

∴∠OPN=∠OQP，

∵∠OPN+∠OQP+∠PON+∠NOQ=180°，

∴2∠OPN+∠PON+∠NOQ=180°，

∴∠NOP+2∠OPN=90°，

∵∠NOP=α，∠OPN=β，

∴α+2β=90°．

【解答】

解：