【题目】如图,菱形ABCD顶点A在函数y=(x>0)的图像上,函数y=(k>4,x>0)的图象关于直线AC对称,且经过点B、D两点,若AB=4,∠ADC=150°,则k=______。
【答案】
【解析】
连接OC,AC,过A作AE⊥x轴于点E,延长DA与x轴交于点F,过点D作DG⊥x轴于点G,得O、A、C在第一象限的角平分线上,求得A点坐标,进而求得D点坐标,便可求得结果.
连接OC,AC,过A作AE⊥x轴于点E,延长DA与x轴交于点F,过点D作DG⊥x轴于点G,
∵函数y=(k>4,x>0)的图象关于直线AC对称,
∴O,A,C三点在同直线上,且∠COE=45°,
∴OE=AE,
不妨设OE=AE=a,则A(a,a),
∵点A在在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴a2=4,
∴a=±2(负值舍去),
∴a=2,
∴AE=OE=2,
∵四边形ABCD是菱形,∠ADC=150°,
∴∠BAD=30°,
∴∠OAF=∠CAD=∠BAD=15°,
∵∠OAE=∠AOE=45°,
∴∠EAF=30°,
∴AF==,EF=AEtan30°=,
∵AB=AD=4,AE∥DG,
∴,即
解得,FG=,DG=
∴EG=FG-FE=-=2,
∴OG=OE+EG=2+2=4,
∴D(4,),
∵D点D在函数y=的图象上,
∴k=4×()=8+8.
故答案为:8+8.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=x(x﹣b)﹣与y轴相交于A点,与x轴相交于B、C两点,且点C在点B的右侧,设抛物线的顶点为P.
(1)若点B与点C关于直线x=1对称,求b的值;
(2)若OB=OA,求△BCP的面积;
(3)当﹣1≤x≤1时,该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h,求出h与b的关系;若h有最大值或最小值,直接写出这个最大值或最小值.
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【题目】平面直角坐标系中有点和某一函数图象,过点作轴的垂线,交图象于点,设点,的纵坐标分别为,.如果,那么称点为图象的上位点;如果,那么称点为图象的图上点;如果,那么称点为图象的下位点.
(1)已知抛物线.
① 在点A(-1,0),B(0,-2),C(2,3)中,是抛物线的上位点的是 ;
② 如果点是直线的图上点,且为抛物线的上位点,求点的横坐标的取值范围;
(2)将直线在直线下方的部分沿直线翻折,直线的其余部分保持不变,得到一个新的图象,记作图象.⊙的圆心在轴上,半径为.如果在图象和⊙上分别存在点和点F,使得线段EF上同时存在图象的上位点,图上点和下位点,求圆心的横坐标的取值范围.
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【题目】如图,函数(x>0)和(x>0)的图象分别是和.设点P在上,PA∥y轴交于点A,PB∥x轴,交于点B,△PAB的面积为( )
A. B. C. D.
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【题目】已知P为⊙O上一点,过点P作不过圆心的弦PQ,在劣弧PQ和优弧PQ上分别有点A、B(不与P、Q重合),连接AP、BP,若∠APQ=∠BPQ
(1)如图1,当∠APQ=45°,AP=1,BP=2时,求⊙O的半径。
(2)如图2,连接AB,交PQ于点M,点N在线段PM上(不与P、M重合),连接ON、OP,设∠NOP=α,∠OPN=β,若AB平行于ON,探究α与β的数量关系。
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【题目】在平面直角坐标系中,将二次函数的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧),,经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点,且与抛物线的另一个交点为,的面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式;
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方,求面积的最大值,并求出此时点E的坐标;
(3)若点为轴上任意一点,在(2)的结论下,求的最小值.
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【题目】已知∠ACD=90°,AC=DC,MN是过点A的直线,DB⊥MN于点B.
(1)如图,求证:BD+AB=BC;
(2)直线MN绕点A旋转,在旋转过程中,当∠BCD=30°,BD=时,求BC的值.
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【题目】某学校初中英语口语听力考试即将举行,准备了A、B、C、D四份听力材料,它们的难易程度分别是易、中、难、难;另有a、b是两份口语材料,它们的难易程度分别是易、难.
(1)从四份听力材料中,任选一份是难的听力材料的概率是 ;
(2)用树状图形或列表法,求出听力、口语两份材料都是难的一套模拟试卷的概率.
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