Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x（x﹣b）﹣与y轴相交于A点，与x轴相交于B、C两点，且点C在点B的右侧，设抛物线的顶点为P．

（1）若点B与点C关于直线x＝1对称，求b的值；

（2）若OB＝OA，求△BCP的面积；

（3）当﹣1≤x≤1时，该抛物线上最高点与最低点纵坐标的差为h，求出h与b的关系；若h有最大值或最小值，直接写出这个最大值或最小值．

Answer 1

【答案】（1）2（2）（3）h存在最小值，最小值为1

【解析】

（1）由点B与点C关于直线x＝1对称，可得出抛物线的对称轴为直线x＝1，再利用二次函数的性质可求出b值；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A的坐标，结合OA＝OB可得出点B的坐标，由点B的坐标利用待定系数法可求出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，利用配方法可求出点P的坐标，再利用三角形的面积公式即可求出△BCP的面积；

（3）分b≥2，0≤b＜2，﹣2＜b＜0和b≤﹣2四种情况考虑，利用二次函数图象上点的坐标特征结合二次函数的图象找出h关于b的关系式，再找出h的最值即可得出结论．

解：（1）∵点B与点C关于直线x＝1对称，y＝x（x﹣b）﹣＝x2﹣bx﹣，

∴﹣＝1，

解得：b＝2．

（2）当x＝0时，y＝x2﹣bx﹣＝﹣，

∴点A的坐标为（0，﹣）．

又∵OB＝OA，

∴点B的坐标为（﹣，0）．

将B（﹣，0）代入y＝x2﹣bx﹣，得：0＝+b﹣，

解得：b＝，

∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣．

∵y＝x2﹣x﹣＝（x﹣）2﹣，

∴点P的坐标为（，﹣）．

当y＝0时，x2﹣x﹣＝0，

解得：x1＝﹣，x2＝1，

∴点C的坐标为（1，0）．

∴S△BCP＝×[1﹣（﹣）]×|﹣|＝．

（3）y＝x2﹣bx﹣＝（x﹣）2﹣﹣．

当≥1，即b≥2时，如图1所示，

y最大＝b+，y最小＝﹣b+，

∴h＝2b；

当0≤＜1，即0≤b＜2时，如图2所示，

y最大＝b+，y最小＝﹣﹣，

∴h＝1+b+＝（1+）2；

当﹣1＜＜0，﹣2＜b＜0时，如图3所示

y最大＝﹣b，y最小＝﹣﹣，

∴h＝1﹣b+＝（1﹣）2；

当≤﹣1，即b≤﹣2时，如图4所示，

y最大＝﹣b+，y最小＝b+，

h＝﹣2b．

综上所述：h＝，h存在最小值，最小值为1．