【题目】在平面直角坐标系中,将二次函数的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与轴交于点、(点在点的左侧),,经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点,且与抛物线的另一个交点为,的面积为5.
(1)求抛物线和一次函数的解析式;
(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方,求面积的最大值,并求出此时点E的坐标;
(3)若点为轴上任意一点,在(2)的结论下,求的最小值.
【答案】(1);;(2)的面积最大值是,此时点坐标为;(3)的最小值是3.
【解析】
(1)先写出平移后的抛物线解析式,再把点代入可求得的值,由的面积为5可求出点的纵坐标,代入抛物线解析式可求出横坐标,由、的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式;
(2)作轴交于,如图,利用三角形面积公式,由构建关于E点横坐标的二次函数,然后利用二次函数的性质即可解决问题;
(3)作关于轴的对称点,过点作于点,交轴于点,则,利用锐角三角函数的定义可得出,此时最小,求出最小值即可.
解:(1)将二次函数的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线解析式为,
∵,∴点的坐标为,
代入抛物线的解析式得,,∴,
∴抛物线的解析式为,即.
令,解得,,∴,
∴,
∵的面积为5,∴,∴,
代入抛物线解析式得,,解得,,∴,
设直线的解析式为,
∴,解得:,
∴直线的解析式为.
(2)过点作轴交于,如图,设,则,
∴,
∴,,
∴当时,的面积有最大值,最大值是,此时点坐标为.
(3)作关于轴的对称点,连接交轴于点,过点作于点,交轴于点,
∵,,
∴,,∴,
∵,
∴,∴,
∵、关于轴对称,∴,
∴,此时最小,
∵,,
∴,
∴.
∴的最小值是3.
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【题目】[问题发现]
如图①,在中,点是的中点,点在边上,与相交于点,若,则_____ ;
[拓展提高]
如图②,在等边三角形中,点是的中点,点在边上,直线与相交于点,若,求的值.
[解决问题]
如图③,在中,,点是的中点,点在直线上,直线与直线相交于点,.请直接写出的长.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,BC是弦,沿BC对折劣弧BC,交AB于D,点E、F分别是弧AB和弧BD的中点.若AD=4,AB=10,则EF=_____.
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【题目】如图,菱形ABCD顶点A在函数y=(x>0)的图像上,函数y=(k>4,x>0)的图象关于直线AC对称,且经过点B、D两点,若AB=4,∠ADC=150°,则k=______。
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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,已知的半径为5,圆心的坐标为,交轴于点,交轴于,两点,点是上的一点(不与点、、重合),连结并延长,连结,,.
(1)求点的坐标;
(2)当点在上时.
①求证:;
②如图2,在上取一点,使,连结.求证:;
(3)如图3,当点在上运动的过程中,试探究的值是否发生变化?若不变,请直接写出该定值;若变化,请说明理由.
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【题目】设函数y=x2+2kx+k﹣1(k为常数),下列说法正确的个数是( )
(1)对任意实数k,函数与x轴有两个交点
(2)当x≥﹣k时,函数y的值都随x的增大而增大
(3)k取不同的值时,二次函数y的顶点始终在同一条抛物线上
(4)对任意实数k,抛物线y=x2+2kx+k﹣1都必定经过唯一定点
A.1B.2C.3D.4
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【题目】黄山景区销售一种旅游纪念品,已知每件进价为元,当销售单价定为元时,每天可以销售件.市场调查反映:销售单价每提高元,日销量将会减少件.物价部门规定:销售单价不低于元,但不能超过元,设该纪念品的销售单价为(元),日销量为(件).
(1)直接写出与的函数关系式.
(2)求日销售利润(元)与销售单价(元)的函数关系式.并求当为何值时,日销售利润最大,最大利润是多少?
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【题目】如图,数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高,下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m,但当她马上测量树高时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分影子落在教学楼的墙壁上(如图),他先测得留在墙壁上的影高为1.2m,又测得地面的影长为2.6m,请你帮她算一下,树高是( )
A.4.25mB.4.45mC.4.60mD.4.75m
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