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【题目】在平面直角坐标系中,将二次函数的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到如图所示的抛物线,该抛物线与轴交于点(在点的左侧),经过点的一次函数的图象与轴正半轴交于点,且与抛物线的另一个交点为的面积为5

(1)求抛物线和一次函数的解析式;

(2)抛物线上的动点在一次函数的图象下方,求面积的最大值,并求出此时点E的坐标;

(3)若点轴上任意一点,在(2)的结论下,求的最小值.

【答案】(1)(2)的面积最大值是,此时点坐标为(3)的最小值是3.

【解析】

(1)先写出平移后的抛物线解析式,再把点代入可求得的值,由的面积为5可求出点的纵坐标,代入抛物线解析式可求出横坐标,由的坐标可利用待定系数法求出一次函数解析式;

(2)轴交,如图,利用三角形面积公式,由构建关于E点横坐标的二次函数,然后利用二次函数的性质即可解决问题;

(3)关于轴的对称点,过点于点,交轴于点,则,利用锐角三角函数的定义可得出,此时最小,求出最小值即可.

解:(1)将二次函数的图象向右平移1个单位,再向下平移2个单位,得到的抛物线解析式为

,∴点的坐标为

代入抛物线的解析式得,,∴

∴抛物线的解析式为,即

,解得,∴

的面积为5,∴,∴

代入抛物线解析式得,,解得,∴

设直线的解析式为

,解得:

∴直线的解析式为

(2)过点轴交,如图,设,则

∴当时,的面积有最大值,最大值是,此时点坐标为

(3)关于轴的对称点,连接轴于点,过点于点,交轴于点

,∴

,∴

关于轴对称,∴

,此时最小,

的最小值是3

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