Question

【题目】如图，已知△ABC，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E为弧AD的中点，连接CE交AB于点F，且BF=BC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，=，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见详解；（2）.

【解析】

（1）连接AE，求出∠EAD+∠AFE=90°，推出∠BCE=∠BFC，∠EAD=∠ACE，求出∠BCE+∠ACE=90°，根据切线的判定推出即可．
（2）根据AC=4，=，求出BC=3，AB=5，BF=3，AF=2，根据∠EAD=∠ACE，∠E=∠E证△AEF∽△CEA，推出EC=2EA，设EA=x，EC=2x，由勾股定理得出，求出即可．

（1）答：BC与⊙O相切．
证明：连接AE，
∵AC是⊙O的直径
∴∠E=90°，
∴∠EAD+∠AFE=90°，
∵BF=BC，
∴∠BCE=∠BFC=∠AFE，
∵E为弧AD中点，
∴∠EAD=∠ACE，
∴∠BCE+∠ACE=∠EAD+∠AFE=90°，
∴AC⊥BC，
∵AC为直径，
∴BC是⊙O的切线．

（2）解：∵⊙O的半为2，
∴AC=4，
∵=

∴BC=3，AB=5，
∴BF=3，AF=5-3=2，
∵∠EAD=∠ACE，∠E=∠E，
∴△AEF∽△CEA，
∴

∴EC=2EA，
设EA=x，则有EC=2x，
由勾股定理得：，

∴ （负数舍去），
即.