Question

【题目】如图，点是二次函数图像上的任意一点，点在轴上.

（1）以点为圆心，长为半径作.

①直线经过点且与轴平行，判断与直线的位置关系，并说明理由.

②若与轴相切，求出点坐标；

（2）、、是这条抛物线上的三点，若线段、、的长满足，则称是、的和谐点，记做.已知、的横坐标分别是，，直接写出的坐标_______.

Answer 1

【答案】（1）①与直线相切.理由见解析；②或；（2）或.

【解析】

（1）①作直线的垂线，利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征证明线段相等即可；

②利用两点之间的距离公式及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.

（2）利用两点之间的距离公式分别求得各线段的长，根据“和谐点”的定义及二次函数图象上点的特征构建方程即可求得答案.

（1）①与直线相切.

如图，过作直线，垂足为，设.

则，

，即：

与直线相切.

②当与轴相切时

∴ ，

，即：

代入

化简得：或.

解得：，.

或.

（2）已知、的横坐标分别是，，代入二次函数的解析式得：

，，

设，

∵点B的坐标为，

∴，

，

，

依题意得：，即，

，即：，

∴(不合题意，舍去)或，

把，代入得：

直接开平方解得：，，

∴的坐标为：或