【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中点,E是AD的中点,过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.
(1)求证:四边形ADCF是菱形;
(3)若AC=6,AB=8,求菱形ADCF的面积.
【答案】(1)详见解析;(2)24
【解析】
(1)可先证得△AEF≌△DEB,可求得AF=DB,可证得四边形ADCF为平行四边形,再利用直角三角形的性质可求得AD=CD,可证得结论;
(2)将菱形ADCF的面积转换成△ABC的面积,再用S△ABC的面积=ABAC,结合条件可求得答案.
(1)证明:∵E是AD的中点
∴AE=DE
∵AF∥BC
∴∠AFE=∠DBE
在△AEF和△DEB中
∴△AEF≌△DEB(AAS)
∴AF=DB
∵D是BC的中点
∴BD=CD=AF
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC=90°,
∴AD=CD=BC
∴四边形ADCF是菱形;
(2)解:设AF到CD的距离为h,
∵AF∥BC,AF=BD=CD,∠BAC=90°,AC=6,AB=8
∴S菱形ADCF=CDh=BCh=S△ABC=ABAC=.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,菱形ABCD的顶点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1),对角线BD与x轴平行,若直线y=kx+5+2k(k≠0)与菱形ABCD有交点,则k的取值范围是( )
A.B.
C.D.﹣2≤k≤2且k≠0
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【题目】如图,AE∥BF,AC平分∠BAD,且交BF于点C,BD平分∠ABC,且交AE于点D,连接CD,求证:
(1)AC⊥BD;
(2)四边形ABCD是菱形.
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【题目】学校提倡练字,小冬和小红一起去文具店买钢笔和字帖,小冬在文具店买1支钢笔和3本字帖共花了38元,小红买了2支钢笔和4本字帖共花了64元.
(1)每支钢笔与每本字帖分别多少元?
(2)帅帅在六一节当天去买,正巧碰到文具店搞促销,促销方案有两种形式:
①所购商品均打九折
②买一支钢笔赠送一本字帖
帅帅要买5支钢笔和15本字帖,他有三种选择方案:
(Ⅰ)一次买5支钢笔和15本字帖,然后按九折付费;
(Ⅱ)一次买5支钢笔和10本字帖,文具店再赠送5本字帖;
(Ⅲ)分两次购买,第一次买5支钢笔,文具店会赠送5本字帖,第二次再去买10本字帖,可以按九折付费;问帅帅最少要付多少钱?
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【题目】如图,AB是⊙O的弦,OP⊥OA交AB于点P,过点B的直线交OP的延长线于点C,且CP=CB.
(1)求证:BC是⊙O的切线;
(2)若⊙O的半径为3,OP=1,求BC的长.
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【题目】如图,已知B,C,E三点在同一条直线上,△ABC与△DCE都是等边三角形,其中线段BD交AC于点G,线段AE交CD于点F.求证:(1)△ACE≌△BCD;(2).
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【题目】某织布厂有150名工人,为了提高经济效益,增设制衣项目,已知每人每天能织布30m,或利用所织布制衣4件,制衣一件需要布1.5m,将布直接出售,每米布可获利2元,将布制成衣后出售,每件可获利25元,若每名工人每天只能做一项工作,且不计其他因素,设安排x名工人制衣.
(1)一天中制衣所获利润P是多少(用含x的式子表示);
(2)一天中剩余布所获利润Q是多少 (用含x的式子表示);.
(3)一天当中安排多少名工人制衣时,所获利润为11806元?
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【题目】在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,且∠EAF=∠CEF=45°.
(1)将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG(如图①),求证:△AEG≌△AEF;
(2)若直线EF与AB,AD的延长线分别交于点M,N(如图②),求证:EF2=ME2+NF2;
(3)将正方形改为长与宽不相等的矩形,若其余条件不变(如图③),请你直接写出线段EF,BE,DF之间的数量关系.
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【题目】如图,△ABC是等边三角形,AO⊥BC,垂足为点O,⊙O与AC相切于点D,BE⊥AB交AC的延长线于点E,与⊙O相交于G,F两点.
(1)求证:AB与⊙O相切;
(2)若AB=4,求线段GF的长.
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