Question

【题目】

已知：等边三角形ABC

（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；

（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD

Answer 1

【答案】（1）猜想：AP=BP+PC，证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）AP=BP+PC，理由是延长BP至E，使PE=PC，连接CE，由∠BPC=120°，推出等边△CPE，得到CP=PE=CE，∠PCE=60°，根据已知等边△ABC，推出AC=BC，∠ACP=∠BCE，根据三角形全等的判定推出△ACP≌△BCE，得出AP=BE即可求出结论；

（2）在AD外侧作等边△AB′D，由（1）得PB′=AP+PD，根据三角形的三边关系定理得到PA+PD+PC＞CB′，再证△AB′C≌△ADB，根据全等三角形的性质推出CB′=BD即可．

（1）猜想:AP=BP+PC,

证明:延长BP至E,使PE=PC,连接CE,

∵∠BPC=120°

∴∠CPE=60°又PE=PC,

∴△CPE为等边三角形,

∴CP=PE=CE,∠PCE=60°,

∵△ABC为等边三角形,

∴AC=BC,∠BCA=60°

∴∠ACB=∠PCE

∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP

∴∠ACP=∠BCE,

∴△ACP≌△BCE（SAS）

∴AP=BE,

∵BE=BO+PE

∴AP=BP+PC

(2)证明:在AD外侧作等边△AB’D,

则点P在三角形AB’D外,连接PB’,B’C,

∵∠APD=120°

∴由(1)得PB’=AP+PD,

在△PB’C中,有PB’+PC’＞CB’,

∴PA+PB+PC＞CB’,

∵△AB’D、△ABC是等边三角形,

∴AC=AB,AB’=AD

∠BAD=∠CAB’

∴△AB’C≌△ADB

∴CB’=BD,

∴PA+PD+PC＞BD.