Question

【题目】如图，在⊙O中，AB为直径，点M为AB延长线上的一点，MC与⊙O相切于点C，圆周上有另一点D与点C分居直径AB两侧，且使得MC＝MD＝AC，连接AD.现有下列结论：①MD与⊙O相切；②四边形ACMD是菱形；③AB＝MO；④∠ADM＝120°，其中正确的结论有(　　)

A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个

Answer 1

【答案】A

【解析】

如图，连接CO，DO，

∵MC与⊙O相切于点C，

∴∠MCO=90°，

在△MCO与△MDO中，

，

∴△MCO≌△MDO（SSS），

∴∠MCO=∠MDO=90°，∠CMO=∠DMO，

∴MD与⊙O相切，故①正确；

在△ACM与△ADM中，

，

∴△ACM≌△ADM（SAS），

∴AC=AD，

∴MC＝MD＝AC=AD，

∴四边形ACMD是菱形，故②正确；

如图连接BC，

∵AC=MC，

∴∠CAB=∠CMO，

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

在△ACB与△MCO中，

，

∴△ACB≌△MCO（SAS），

∴AB＝MO，故③正确；

∵△ACB≌△MCO，

∴BC=OC，

∴BC=OC=OB，

∴∠COB=60°，

∵∠MCO=90°，

∴∠CMO=30°，

又∵四边形ACMD是菱形，

∴∠CMD=60°，

∴∠ADM＝120°，故④正确；

故正确的有4个.

故选A.