Question

19．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，AC⊥AB，点E是AC的中点，DE的延长线与BC相交于点F．求证：四边形AFCD是菱形．

Answer 1

分析 先根据ASA证明△ADE≌△CFE得出AD=CF，证出四边形AFCD是平行四边形，再证明四边形ABFD是平行四边形，得出AB∥DF，证出AC⊥DF，即可证出结论．

解答 证明：如图所示：
∵AD∥BC，
∴∠1=∠2，
∵点E是AC的中点，
∴AE=CE，
在△ADE和△CFE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}&{\;}\\{AE=CE}&{\;}\\{∠3=∠4}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△CFE（ASA），
∴AD=CF，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∵BC=2AD，
∴BC=2CF，
∴BF=CF，
∴AD=BF，
又∵AD∥BF，
∴四边形ABFD是平行四边形，
∴AB∥DF，
∵AC⊥AB，
∴AC⊥DF，
∴四边形AFCD是菱形．

点评 本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定方法以及全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定方法，证明四边形是平行四边形是解题的关键．