Question

11．如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，AB=1，CE=2，求∠BEC的度数及BE，BC的长．

Answer 1

分析 先求出∠ABE=∠AEB=45°，得出AE=AB=1，即可求出∠BEC；再根据勾股定理求出DE，即可求出AD，即为BC．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ABC=∠D=90°，CD=AB=1，BC=AD，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=45°，
∴∠AEB=45°，
∴AE=AB=1，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
又∵CE=2，
∴CD=$\frac{1}{2}$CE，
∴∠CED=30°，DE=$\sqrt{3}$CD=$\sqrt{3}$，
∴∠BEC=180°-45°-30°=105°，AD=AE+DE=1+$\sqrt{3}$，
∴BC=1+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理的运用；志明三角形是等腰直角三角形和运用勾股定理是解题的关键．