【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣ x2+ x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点E.
(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)经过B,C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一动点,当△PCD的面积最大时,Q从点P出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处,最后沿适当的路径运动到点A处停止.当点Q的运动路径最短时,求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长;
(3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点E在射线AE上移动,点E平移后的对应点为点E′,点A的对应点为点A′,将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置,点A,C的对应点分别为点A1 , C1 , 且点A1恰好落在AC上,连接C1A′,C1E′,△A′C1E′是否能为等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点E′的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】
(1)
解:△ABC为直角三角形,
当y=0时,即﹣ x2+ x+3=0,
∴x1=﹣ ,x2=3
∴A(﹣ ,0),B(3 ,0),
∴OA= ,OB=3 ,
当x=0时,y=3,
∴C(0,3),
∴OC=3,
根据勾股定理得,AC2=OB2+OC2=12,BC2=OB2+OC2=36,
∴AC2+BC2=48,
∵AB2=[3 ﹣(﹣ )]2=48,
∴AC2+BC2=AB2,
∴△ABC是直角三角形
(2)
解:如图,
∵B(3 ,0),C(0,3),
∴直线BC解析式为y=﹣ x+3,
过点P作∥y轴,
设P(a,﹣ a2+ a+3),
∴G(a,﹣ a+3),
∴PG=﹣ a2+ a,
设点D的横坐标为xD,C点的横坐标为xC,
S△PCD= ×(xD﹣xC)×PG=﹣ (a﹣ )2+ ,
∵0<a<3 ,
∴当a= 时,S△PCD最大,此时点P( , ),
将点P向左平移 个单位至P′,连接AP′,交y轴于点N,过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M,
连接PM,点Q沿P→M→N→A,运动,所走的路径最短,即最短路径的长为PM+MN+NA的长,
∴P( , )
∴P′( , ),
∵点A(﹣ ,0),
∴直线AP′的解析式为y= x+ ,
当x=0时,y= ,
∴N(0, ),
过点P′作P′H⊥x轴于点H,
∴AH= ,P′H= ,AP′= ,
∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN= + = ;
(3)
解:在Rt△AOC中,
∵tan∠OAC= = ,
∴∠OAC=60°,
∵OA=OA1,
∴△OAA1为等边三角形,
∴∠AOA1=60°,
∴∠BOC1=30°,
∵OC1=OC=3,
∴C1( , ),
∵点A(﹣ ,0),E( ,4),
∴AE=2 ,
∴A′E′=AE=2 ,
∵直线AE的解析式为y= x+2,
设点E′(a, a+2),
∴A′(a﹣2 , ﹣2)
∴C1E′2=(a﹣2 )2+( +2﹣ )2= a2﹣ a+7,
C1A′2=(a﹣2 ﹣ )2+( ﹣2﹣ )2= a2﹣ a+49,
①若C1A′=C1E′,则C1A′2=C1E′2
即: a2﹣ a+7= a2﹣ a+49,
∴a= ,
∴E′( ,5),
②若A′C1=A′E′,
∴A′C12=A′E′2
即: a2﹣ a+49=28,
∴a1= ,a2= ,
∴E′( ,7+ ),或( ,7﹣ ),
③若E′A′=E′C1,
∴E′A′2=E′C12
即: a2﹣ a+7=28,
∴a1= ,a2= (舍),
∴E′( ,3+ ),
即,符合条件的点E′( ,5),( ,7+ ),或( ,7﹣ ),( ,3+ )
【解析】(1)先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标,再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形;(2)先求出S△PCD最大时,点P( , ),然后判断出所走的路径最短,即最短路径的长为PM+MN+NA的长,计算即可;(3)△A′C1E′是等腰三角形,分三种情况分别建立方程计算即可.此题是二次函数综合题,主要考查了函数极值的确定方法,等边三角形的判定和性质,勾股定理的逆定理,等腰三角形的性质,解本题的关键是分类讨论,也是解本题的难点.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的最值的相关知识,掌握如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a,以及对勾股定理的逆定理的理解,了解如果三角形的三边长a、b、c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,D、E为⊙O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交⊙O于点F,连接AE、DE、DF.
(1)证明:∠E=∠C;
(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数;
(3)设DE交AB于点G,若DF=4,cosB= ,E是 的中点,求EGED的值.
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【题目】给出如下规定:两个图形G1和G2 , 点P为G1上任一点,点Q为G2上任一点,如果线段PQ的长度存在最小值,就称该最小值为两个图形G1和G2之间的距离.在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点.
(1)点A的坐标为A(1,0),则点B(2,3)和射线OA之间的距离为 , 点C(﹣2,3)和射线OA之间的距离为;
(2)如果直线y=x+1和双曲线y= 之间的距离为 ,那么k=;(可在图1中进行研究)
(3)点E的坐标为(1, ),将射线OE绕原点O顺时针旋转120°,得到射线OF,在坐标平面内所有和射线OE,OF之间的距离相等的点所组成的图形记为图形M.
①请在图2中画出图形M,并描述图形M的组成部分;(若涉及平面中某个区域时可以用阴影表示).
②将射线OE,OF组成的图形记为图形W,直线y=﹣2x﹣4与图形M的公共部分记为图形N,请求出图形W和图形N之间的距离.
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【题目】已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点(﹣2,y1),(﹣1,y2),(1,0),且y1<0<y2 , 对于以下结论:
①abc>0;②a+3b+2c≤0;③对于自变量x的任意一个取值,都有 x2+x≥﹣ ;④在﹣2<x<﹣1中存在一个实数x0 , 使得x0=﹣ ,
其中结论错误的是 (只填写序号).
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【题目】直线y=kx+b与抛物线y= x2交于A(x1 , y1)、B(x2 , y2)两点,当OA⊥OB时,直线AB恒过一个定点,该定点坐标为 .
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【题目】如图,已知直线l:y=﹣x,双曲线y= ,在l上取一点A(a,﹣a)(a>0),过A作x轴的垂线交双曲线于点B,过B作y轴的垂线交l于点C,过C作x轴的垂线交双曲线于点D,过D作y轴的垂线交l于点E,此时E与A重合,并得到一个正方形ABCD,若原点O在正方形ABCD的对角线上且分这条对角线为1:2的两条线段,则a的值为 .
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