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【题目】如图1,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣ x2+ x+3与x轴交于A,B两点(点A在点B左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点E.

(1)判断△ABC的形状,并说明理由;
(2)经过B,C两点的直线交抛物线的对称轴于点D,点P为直线BC上方抛物线上的一动点,当△PCD的面积最大时,Q从点P出发,先沿适当的路径运动到抛物线的对称轴上点M处,再沿垂直于抛物线对称轴的方向运动到y轴上的点N处,最后沿适当的路径运动到点A处停止.当点Q的运动路径最短时,求点N的坐标及点Q经过的最短路径的长;
(3)如图2,平移抛物线,使抛物线的顶点E在射线AE上移动,点E平移后的对应点为点E′,点A的对应点为点A′,将△AOC绕点O顺时针旋转至△A1OC1的位置,点A,C的对应点分别为点A1 , C1 , 且点A1恰好落在AC上,连接C1A′,C1E′,△A′C1E′是否能为等腰三角形?若能,请求出所有符合条件的点E′的坐标;若不能,请说明理由.

【答案】
(1)

解:△ABC为直角三角形,

当y=0时,即﹣ x2+ x+3=0,

∴x1=﹣ ,x2=3

∴A(﹣ ,0),B(3 ,0),

∴OA= ,OB=3

当x=0时,y=3,

∴C(0,3),

∴OC=3,

根据勾股定理得,AC2=OB2+OC2=12,BC2=OB2+OC2=36,

∴AC2+BC2=48,

∵AB2=[3 ﹣(﹣ )]2=48,

∴AC2+BC2=AB2

∴△ABC是直角三角形


(2)

解:如图,

∵B(3 ,0),C(0,3),

∴直线BC解析式为y=﹣ x+3,

过点P作∥y轴,

设P(a,﹣ a2+ a+3),

∴G(a,﹣ a+3),

∴PG=﹣ a2+ a,

设点D的横坐标为xD,C点的横坐标为xC

SPCD= ×(xD﹣xC)×PG=﹣ (a﹣ 2+

∵0<a<3

∴当a= 时,SPCD最大,此时点P( ),

将点P向左平移 个单位至P′,连接AP′,交y轴于点N,过点N作MN⊥抛物线对称轴于点M,

连接PM,点Q沿P→M→N→A,运动,所走的路径最短,即最短路径的长为PM+MN+NA的长,

∴P(

∴P′( ),

∵点A(﹣ ,0),

∴直线AP′的解析式为y= x+

当x=0时,y=

∴N(0, ),

过点P′作P′H⊥x轴于点H,

∴AH= ,P′H= ,AP′=

∴点Q运动得最短路径长为PM+MN+AN= + =


(3)

解:在Rt△AOC中,

∵tan∠OAC= =

∴∠OAC=60°,

∵OA=OA1

∴△OAA1为等边三角形,

∴∠AOA1=60°,

∴∠BOC1=30°,

∵OC1=OC=3,

∴C1 ),

∵点A(﹣ ,0),E( ,4),

∴AE=2

∴A′E′=AE=2

∵直线AE的解析式为y= x+2,

设点E′(a, a+2),

∴A′(a﹣2 ﹣2)

∴C1E′2=(a﹣2 2+( +2﹣ 2= a2 a+7,

C1A′2=(a﹣2 2+( ﹣2﹣ 2= a2 a+49,

①若C1A′=C1E′,则C1A′2=C1E′2

即: a2 a+7= a2 a+49,

∴a=

∴E′( ,5),

②若A′C1=A′E′,

∴A′C12=A′E′2

即: a2 a+49=28,

∴a1= ,a2=

∴E′( ,7+ ),或( ,7﹣ ),

③若E′A′=E′C1

∴E′A′2=E′C12

即: a2 a+7=28,

∴a1= ,a2= (舍),

∴E′( ,3+ ),

即,符合条件的点E′( ,5),( ,7+ ),或( ,7﹣ ),( ,3+


【解析】(1)先求出抛物线与x轴和y轴的交点坐标,再用勾股定理的逆定理判断出△ABC是直角三角形;(2)先求出SPCD最大时,点P( ),然后判断出所走的路径最短,即最短路径的长为PM+MN+NA的长,计算即可;(3)△A′C1E′是等腰三角形,分三种情况分别建立方程计算即可.此题是二次函数综合题,主要考查了函数极值的确定方法,等边三角形的判定和性质,勾股定理的逆定理,等腰三角形的性质,解本题的关键是分类讨论,也是解本题的难点.
【考点精析】解答此题的关键在于理解二次函数的最值的相关知识,掌握如果自变量的取值范围是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值(或最小值),即当x=-b/2a时,y最值=(4ac-b2)/4a,以及对勾股定理的逆定理的理解,了解如果三角形的三边长a、b、c有下面关系:a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.

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