【题目】如图,矩形纸片ABCD,DC=8,AD=6.
(1)如图(1),点E在边AD上且AE=2,以点E为顶点作正方形EFGH,顶点F,H分别在矩形ABCD的边AB,CD上,连接CG,求∠HCG的度数;
(2)请从A、B两题中任选一题解答,我选择_____.
A.如图(2),甲同学把矩形纸片ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形MPNQ,判断并说明四边形MPNQ的形状.
B.如图(3),乙同学把(1)中的“正方形EFGH”改为“菱形EFGH”,其余条件不变,此时点G落在矩形ABCD的外部,已知△CGH的面积是4,求菱形EFGH的边长及面积.
【答案】(1)∠HCG= 45°;(2)A:四边形MPNQ的形状是矩形,证明见解析;B:菱形EFGH的边长及面积分别为4和8+8.
【解析】
(1)先根据条件判定△AFE≌△DEH≌△KHG,得出AE=DH=GK=2,DE=HK,进而得出GK=CK,即△CGK为等腰直角三角形,据此得出∠HCG的度数;
(2)①若选A题,则根据折叠的性质,求得∠PMQ=∠PME+∠QME=1212∠DME+1212∠AME=1212∠AMD=90°,同理可得,∠MQN=90°,∠PNQ=90°,进而得出四边形MPNQ的形状是矩形;
②若选B题,则需要连接HF,过G作GP⊥CD的延长线于P,再根据矩形和菱形的性质,判定△AEF≌△PGH(AAS),得出PG=AE=2,再根据△CGH的面积是4,求得CH的长,进而在Rt△DEH中,根据勾股定理得出EH,即得出菱形EFGH的边长,最后根据菱形EFGH的面积=2×△EFH的面积=2×(四边形ADHF的面积-△DEH的面积-△AEF的面积),进行计算求解即可.
(1)过点G作GK⊥CD于点K,
∵四边形ABCD为矩形,DC=8,AD=6,
∴∠A=∠D=∠HKG=90°,
∵四边形EFGH为正方形,
∴∠FEH=∠EHG=90°,EF=EH=HG,
∴∠AFE=∠DEH=∠KHG,
∴△AFE≌△DEH≌△KHG,
∴AE=DH=GK=2,DE=HK,
∵DC=8,AD=6,
∴CK=DC﹣DH=8﹣6=2,
∴GK=CK,
∴∠KCG=∠CGK=45°,即∠HCG的度数是45°;
(2)选A题,四边形MPNQ的形状是矩形.证明:如图2,
∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,
∵DM与EM重合,AM与EM重合,
∴PM平分∠DME,QM平分∠AME,
∴∠PMQ=∠PME+∠QME=∠DME+∠AME=∠AMD=90°,
同理可得,∠MQN=90°,∠PNQ=90°,
∴四边形MPNQ的形状是矩形.
选B题,如图3,连接HF,过G作GP⊥CD的延长线于P,∵四边形ABCD为矩形,∴AB∥CD,∠A=∠D=90°,∴∠AFH=∠PHF,
∵四边形EFGH为菱形,
∴EF∥HG,EF=HG,
∴∠1=∠2,
∴∠AFE=∠PHG,
又∵GP⊥DP,
∴∠P=∠A=90°,
∴△AEF≌△PGH(AAS),
∴PG=AE=2,
∵△CGH的面积是4,
∴×HC×PG=4,
∴HC=4,
∵CD=8,AD=6,AE=2,
∴DH=8﹣4=4,DE=6﹣2=4,
∴Rt△DEH中,EH=4,
∴EF=4,即菱形EFGH的边长为4,
∴Rt△AEF中,AF=2,
∴菱形EFGH的面积=2×△EFH的面积
=2×(四边形ADHF的面积﹣△DEH的面积﹣△AEF的面积)
=2×[(DH+AF)×AD﹣×DH×ED﹣×AE×AF]
=8+8.
∴菱形EFGH的边长及面积分别为4和8+8.
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【题目】如图,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形,在建立平面直角坐标系后,的顶点均在格点上,三个顶点的坐标分别为.
(1)将关于轴作轴对称变换得,则点的坐标为______.
(2)将绕原点按逆时针方向旋转得,则点的坐标为______.
(3)在(1)(2)的基础上,图中的,是中心对称图形,对称中心的坐标为______.
(4)若以点、、、为顶点的四边形为菱形,直接写出点的坐标为______.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(1,1),B(4,1),C(3,3).
(1)将△ABC向下平移5个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到△A2B2C2,请画出△A2B2C2;
(3)判断以O,A1,B为顶点的三角形的形状.(无须说明理由)
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【题目】如图,科技小组准备用材料围建一个面积为60m2的矩形科技园ABCD,其中一边AB靠墙,墙长为12m,设AD的长为m,DC的长为m。
(1)求与之间的函数关系式;
(2)根据实际情况,对于(1)式中的函数自变量能否取值为4m,若能,求出的值,若不能,请说明理由;
(3)若围成矩形科技园ABCD的三边材料总长不超过26m,材料AD和DC的长都是整米数,求出满足条件的所有围建方案。
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【题目】如图,在正方形ABCD中,的顶点E,F分别在BC,CD边上,高AG与正方形的边长相等,求的度数.
如图,在中,,,点M,N是BD边上的任意两点,且,将绕点A逆时针旋转至位置,连接NH,试判断MN,ND,DH之间的数量关系,并说明理由.
在图中,连接BD分别交AE,AF于点M,N,若,,,求AG,MN的长.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与轴的交点为,
(1)求抛物线的顶点坐标;
(2)若,
①求抛物线的解析式;
②)已知点,,将抛物线在的部分向上平移个单位得到图象,若图象与线段恰有个公共点,结合函数的图象,直接写出的取值范围.
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【题目】如图,抛物线y=-x2+2x+m+1交x轴于点A(a,0)和B(b,0),交y轴于点C,抛物线的顶点为D,下列四个判断:①当x>0时,y>0;②若a=-1,则b=3;③抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2,y2),若x1<1<x2,且x1+x2>2,则y1>y2;④点C关于抛物线对称轴的对称点为E,点G、F分别在x轴和y轴上,当m=2时,四边形EDGF周长的最小值为,其中,判断正确的序号是( )
A.①②B.②③C.①③D.②③④
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【题目】某班数学兴趣小组经过市场调查,整理出某种商品在第天的售价与销量的相关信息如下表:
观察表格:根据表格解答下列问题:
0 | 1 | 2 | |
1 | |||
-3 | -3 |
(1)__________._____________.___________.
(2)在下图的直角坐标系中画出函数的图象,并根据图象,直接写出当取什么实数时,不等式成立;
(3)该图象与轴两交点从左到右依次分别为、,与轴交点为,求过这三个点的外接圆的半径.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=﹣x+m分别交x轴,y轴于A,B两点,已知点C(2,0).
(1)当直线AB经过点C时,点O到直线AB的距离是 ;
(2)设点P为线段OB的中点,连结PA,PC,若∠CPA=∠ABO,则m的值是 .
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