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【题目】如图,矩形纸片ABCDDC8AD6.

(1)如图(1),点E在边AD上且AE2,以点E为顶点作正方形EFGH,顶点FH分别在矩形ABCD的边ABCD上,连接CG,求∠HCG的度数;

(2)请从AB两题中任选一题解答,我选择_____.

A.如图(2),甲同学把矩形纸片ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形MPNQ,判断并说明四边形MPNQ的形状.

B.如图(3),乙同学把(1)中的正方形EFGH”改为菱形EFGH”,其余条件不变,此时点G落在矩形ABCD的外部,已知△CGH的面积是4,求菱形EFGH的边长及面积.

【答案】(1)HCG= 45°(2)A:四边形MPNQ的形状是矩形,证明见解析;B:菱形EFGH的边长及面积分别为48+8.

【解析】

1)先根据条件判定△AFE≌△DEH≌△KHG,得出AE=DH=GK=2DE=HK,进而得出GK=CK,即△CGK为等腰直角三角形,据此得出∠HCG的度数;

2)①若选A题,则根据折叠的性质,求得∠PMQ=PME+QME=1212DME+1212AME=1212AMD=90°,同理可得,∠MQN=90°,∠PNQ=90°,进而得出四边形MPNQ的形状是矩形;

②若选B题,则需要连接HF,过GGPCD的延长线于P,再根据矩形和菱形的性质,判定△AEF≌△PGHAAS),得出PG=AE=2,再根据△CGH的面积是4,求得CH的长,进而在RtDEH中,根据勾股定理得出EH,即得出菱形EFGH的边长,最后根据菱形EFGH的面积=2×△EFH的面积=2×(四边形ADHF的面积-DEH的面积-AEF的面积),进行计算求解即可.

(1)过点GGKCD于点K

∵四边形ABCD为矩形,DC8AD6

∴∠A=∠D=∠HKG90°

∵四边形EFGH为正方形,

∴∠FEH=∠EHG90°EFEHHG

∴∠AFE=∠DEH=∠KHG

∴△AFE≌△DEH≌△KHG

AEDHGK2DEHK

DC8AD6

CKDCDH862

GKCK

∴∠KCG=∠CGK45°,即∠HCG的度数是45°

(2)A题,四边形MPNQ的形状是矩形.证明:如图2

∵四边形ABCD为矩形,

∴∠A=∠D90°

DMEM重合,AMEM重合,

PM平分∠DMEQM平分∠AME

∴∠PMQ=∠PME+QMEDME+AMEAMD90°

同理可得,∠MQN90°,∠PNQ90°

∴四边形MPNQ的形状是矩形.

B题,如图3,连接HF,过GGPCD的延长线于P,∵四边形ABCD为矩形,∴ABCD,∠A=∠D90°,∴∠AFH=∠PHF

∵四边形EFGH为菱形,

EFHGEFHG

∴∠1=∠2

∴∠AFE=∠PHG

又∵GPDP

∴∠P=∠A90°

∴△AEF≌△PGH(AAS)

PGAE2

∵△CGH的面积是4

×HC×PG4

HC4

CD8AD6AE2

DH844DE624

RtDEH中,EH4

EF4,即菱形EFGH的边长为4

RtAEF中,AF2

∴菱形EFGH的面积=EFH的面积

2×(四边形ADHF的面积﹣△DEH的面积﹣△AEF的面积)

2×[(DH+AF)×AD×DH×ED×AE×AF]

8+8.

∴菱形EFGH的边长及面积分别为48+8.

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