Question

如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）， 已知点坐标为（，）．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与⊙有怎样的位置关系，并给出证明；

（3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.

Answer 1

（1）解：（1）设抛物线为.

 ∵抛物线经过点（0，3），∴.∴.

 ∴抛物线为.   …………………3分

 (2) 答：与⊙相交………………………1分

证明：当时，，.

∴为（2，0），为（6，0）.∴.…………………1分

设⊙与相切于点，连接，则.

 ∵，∴.

 又∵，∴.∴∽.……1分

 ∴.∴.∴.…………………………1分

 ∵抛物线的对称轴为，∴点到的距离为2.

 ∴抛物线的对称轴与⊙相交.  ……………………………………………1分

(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点。

可求出的解析式为.…………………………………………1分

设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）.  ∴.

 ∵,

  ∴当时，的面积最大为.