Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆C，点B是该半圆周上的一动点，连结OB、AB，并延长AB至点D，使DB＝AB，过点D作x轴垂线，分别交x轴、直线OB于点E、F，点E为垂足，连结CF.

（1）当∠AOB＝30°时，求弧AB的长；

（2）当DE＝8时，求线段EF的长；

（3）在点B运动过程中，是否存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，若存在，请求出此时点E的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】；3；存在

【解析】

试题分析：（1）连结BC,

∵A（10，0）,∴OA=10,CA=5,

∵∠AOB=30°,

∴∠ACB=2∠AOB=60°,

∴弧AB的长=;……4分

（2）连结OD,

∵OA是⊙C直径,∴∠OBA=90°,

又∵AB=BD,

∴OB是AD的垂直平分线,

∴OD=OA=10,

在Rt△ODE中，

OE=,

∴AE=AO－OE=10-6=4,

由∠AOB=∠ADE=90°-∠OAB，∠OEF=∠DEA，

得△OEF∽△DEA,

∴,即，∴EF=3；……8分

（3）设OE=x，

①当交点E在O，C之间时，由以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似，有∠ECF=∠BOA或∠ECF=∠OAB，当∠ECF=∠BOA时，此时△OCF为等腰三角形，点E为OC中点，即OE=，

∴E1（，0）；

当∠ECF=∠OAB时，有CE=5-x,AE=10-x，

∴CF∥AB,有CF=,

∵△ECF∽△EAD,

∴,即,解得：,

∴E2（，0）;

②当交点E在点C的右侧时，

∵∠ECF＞∠BOA，

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO，

连结BE，

∵BE为Rt△ADE斜边上的中线，

∴BE=AB=BD,

∴∠BEA=∠BAO,

∴∠BEA=∠ECF,

∴CF∥BE,∴,

∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED,∴,

而AD=2BE,∴,

即,解得,＜0（舍去），

∴E3（，0）;

③当交点E在点O的左侧时，

∵∠BOA=∠EOF＞∠ECF.

∴要使△ECF与△BAO相似，只能使∠ECF=∠BAO

连结BE，得BE==AB，∠BEA=∠BAO

∴∠ECF=∠BEA,

∴CF∥BE,

∴,

又∵∠ECF=∠BAO,∠FEC=∠DEA=Rt∠，

∴△CEF∽△AED,∴，

而AD=2BE,∴,

∴,解得,＜0（舍去）,

∵点E在x轴负半轴上,∴E4（，0）,

综上所述：存在以点E、C、F为顶点的三角形与△AOB相似,此时点E坐标为：

（，0）、（，0）、（，0）、（，0）．（12分）