Question

15．若关于x的二次函数y=ax²+bx+c（a＞0，c＞0，a，b，c是常数）与x轴交于两个不同的点A（x₁，0），B（x₂，0）（0＜x₁＜x₂），与y轴交于点P，其图象顶点为点M，点O为坐标原点．
（1）当x₁=c=2，a=$\frac{1}{3}$时，求x₂与b的值；
（2）当x₁=2c时，试问△ABM能否为等边三角形？判断并证明你的结论；
（3）当x₁=mc（m＞0）时，记△MAB，△PAB的面积分别为S₁，S₂，若△BPO∽△PAO，且S₁=S₂，求m的值．

Answer 1

分析 （1）设ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂，把a、c代入得：$\frac{1}{3}$x²+bx+2=0，根据x₁=2是它的一个根，求出b，再根据$\frac{1}{3}$x²-$\frac{5}{3}$x+2=0，即可求出另一个根，
（2）根据x₁=2c时，x₂=$\frac{1}{2a}$，得出b=-（2ac+$\frac{1}{2}$），4ac=-2b-1，根据M的坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），得出当△ABM为等边三角形时|$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1}{2a}$-2c），求出b₁=-1，b₂=2$\sqrt{3}$-1（舍去），最后根据4ac=-2b-1=1，得出2c=$\frac{1}{2a}$，A、B重合，△ABM不可能为等边三角形；
（3）根据△BPO∽△PAO，得出$\frac{OP}{AO}$=$\frac{BO}{OP}$，ac=1，由S₁=S₂得出b²=4a•2c=8ac=8，求出b=-2$\sqrt{2}$，最后根据$\frac{1}{c}$x²-2$\sqrt{2}$x+c=0得出x=（$\sqrt{2}$-1）c，从而求出m．

解答 解：（1）设ax²+bx+c=0的两根为x₁、x₂，
把a=$\frac{1}{3}$，c=2代入得：$\frac{1}{3}$x²+bx+2=0，
∵x₁=2是它的一个根，
∴$\frac{1}{3}$×2²+2b+2=0，
解得：b=-$\frac{5}{3}$，
∴方程为：$\frac{1}{3}$x²-$\frac{5}{3}$x+2=0，
∴另一个根为x₂=3；
（2）当x₁=2c时，x₂=$\frac{\frac{c}{a}}{{x}_{1}}$=$\frac{1}{2a}$，
此时b=-a（x₁+x₂）=-（2ac+$\frac{1}{2}$），4ac=-2b-1，
∵M（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$），
当△ABM为等边三角形时|$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB，
即|$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（$\frac{1}{2a}$-2c），
∴|$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{1+2b+1}{2a}$，
∴b²+2b+1=$\sqrt{3}$（1+2b+1），
解得：b₁=-1，b₂=2$\sqrt{3}$-1（舍去），
此时4ac=-2b-1=1，即2c=$\frac{1}{2a}$，A、B重合，
∴△ABM不可能为等边三角形；

（3）∵△BPO∽△PAO，
∴$\frac{OP}{AO}$=$\frac{BO}{OP}$，即x₁x₂=c²=$\frac{c}{a}$，
∴ac=1，
a=$\frac{1}{c}$，
由S₁=S₂得c=|$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$|=$\frac{{b}^{2}}{4a}$-c，
∴b²=4a•2c=8ac=8，
∴b₁=-2$\sqrt{2}$，b₂=2$\sqrt{2}$（舍去），
方程可变形为$\frac{1}{c}$x²-2$\sqrt{2}$x+c=0，
∴x₁=$\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{4}}{2•\frac{1}{c}}$=$\frac{2\sqrt{2}-2}{2•\frac{1}{c}}$=（$\sqrt{2}$-1）c，
x₂=$\frac{2\sqrt{2}+\sqrt{4}}{2•\frac{1}{c}}$=（$\sqrt{2}$+1）c，
∵x₁＜x₂，x₁=mc
∴mc=（$\sqrt{2}$-1）c，
∴m=（$\sqrt{2}$-1）．

点评 此题考查了二次函数综合，用到的知识点是二次函数的图象与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的性质、一元二次方程，关键是综合运用有关知识求解，注意把不合题意的解舍去．