Question

4．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0，x＞0）的图象与直线y=3x相交于点C，过直线上点A（1，3）作AB⊥x轴于点B，交反比例函数图象于点D，且AB=3BD．
（1）求k的值；
（2）求点C的坐标；
（3）在y轴上确定一点M，使点M到C、D两点距离之和d=MC+MD最小，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据A坐标，以及AB=3BD求出D坐标，代入反比例解析式求出k的值；
（2）直线y=3x与反比例解析式联立方程组即可求出点C坐标；
（3）作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于M，则d=MC+MD最小，得到C′（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$），求得直线C′D的解析式为y=-$\sqrt{3}$x+1+$\sqrt{3}$，直线与y轴的交点即为所求．

解答 解：（1）∵A（1，3），
∴AB=3，OB=1，
∵AB=3BD，
∴BD=1，
∴D（1，1）
将D坐标代入反比例解析式得：k=1；

（2）由（1）知，k=1，
∴反比例函数的解析式为；y=$\frac{1}{x}$，
解：$\left\{\begin{array}{l}{y=3x}\\{y=\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=\sqrt{3}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{y=-\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∵x＞0，
∴C（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$）；

（3）如图，作C关于y轴的对称点C′，连接C′D交y轴于M，则d=MC+MD最小，
∴C′（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{3}$），
设直线C′D的解析式为：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{3}=-\frac{\sqrt{3}}{3}k+b}\\{1=k+b}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{k=3-2\sqrt{3}}\\{b=-2+2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴y=（3-2$\sqrt{3}$）x+2$\sqrt{3}$-2，
当x=0时，y=2$\sqrt{3}$-2，
∴M（0，2$\sqrt{3}$-2）．

点评 此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，以及直线与反比例的交点求法，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．