Question

9．如图1，点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象上，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥y轴于D．
（1）求m的值和直线AB的函数关系式；
（2）动点P从O点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线OD-DB向B点运动，同时动点Q从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线OC向C点运动，当动点P运动到D时，点Q也停止运动，设运动的时间为t秒．
①设△OPQ的面积为S，写出S与t的函数关系式；
②如图2，当的P在线段OD上运动时，如果作△OPQ关于直线PQ的对称图形△O′PQ，是否存在某时刻t，使得点O′恰好落在反比例函数的图象上？若存在，求O′的坐标和t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由于点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，根据反比例函数的意义求出m，n，再由待定系数法求出直线AB的解析式；
（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，由三角形的面积公式可求出解析式；
②通过三角形相似，用t的代数式表示出O′的坐标，根据反比例函数的意义可求出t值．

解答 解：（1）∵点A（8，1）、B（n，8）都在反比例函数y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴m=8×1=8，
∴y=$\frac{8}{x}$，
∴8=$\frac{8}{n}$，即n=1，
设AB的解析式为y=kx+b，
把（8，1）、B（1，8）代入上式得：
$\left\{\begin{array}{l}{8k+b=1}\\{k+b=8}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=9}\end{array}\right.$．
∴直线AB的解析式为y=-x+9；

（2）①由题意知：OP=2t，OQ=t，
当P在OD上运动时，
S=$\frac{1}{2}OP•OQ$=$\frac{1}{2}×t×2t$=t²（0＜t≤4），
当P在DB上运动时，
S=$\frac{1}{2}OQ•OD$=$\frac{1}{2}$t×8=4t（4＜t≤4.5）；
②存在，
当O′在反比例函数的图象上时，
作PE⊥y轴，O′F⊥x轴于F，交PE于E，
则∠E=90°，PO′=PO=2t，QO′=QO=t，
由题意知：∠PO′Q=∠POQ，∠QO′F=90°-∠PO′E，
∠EPO′=90′-∠PO′E，
∴△PEO′∽△O′FQ，
∴$\frac{PE}{O′F}$=$\frac{EO′}{QF}$=$\frac{PO′}{QO′}$，
设QF=b，O′F=a，
则PE=OF=t+b，O′E=2t-a，
∴$\frac{t+b}{a}=\frac{2t-a}{b}=2$，
解得：a=$\frac{4}{5}t$，b=$\frac{3}{5}t$，
∴O′（$\frac{8}{5}$t，$\frac{4}{5}$t），
当O′在反比例函数的图象上时，
$\frac{8t}{5}•\frac{4t}{5}=8$，
解得：t=±$\frac{5}{2}$，
∵反比例函数的图形在第一象限，
∴t＞0，
∴t=$\frac{5}{2}$．∴O′（4，2）．
当t=$\frac{5}{2}$秒时，O′恰好落在反比例函数的图象上．

点评 本题主要考查了反比例函数的意义，利用图象和待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，熟练掌握反比例函数的意义和能数形结合是解决问题的关键．