Question

【题目】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0）的图象经过（m＋1，a），（m，b）两点.

（1）若m＝1，a＝－1，求该二次函数的解析式；

（2）求证：am＋b＝0；

（3）若该二次函数的最大值为，当x＝1时，y≥3a，求a的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）y＝－x2＋x＋1；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（2）把m＝1，a＝－1代入（m＋1，a），（m，b）得(2，－1)，(1，b)，把(2，－1)，(1，b)代入函数解析式，进行解方程组即可；

（2）把（m＋1，a），（m，b）代入函数解析式，得到方程组，将方程组进行整理即可；

（3）由（2）得的方程组可得：c＝b＝-am．即可得出抛物线解析式为：y＝ax2-amx-am．当x＝1时，得到不等式：a-am-am≥3a，解得 m≥－1． 利用最值得到方程，整理得：．将c＝b＝-am代入，解得：＝＝．进行解答即可．

解：（1）若m＝1，a＝-1，则抛物线y＝－x2＋bx＋c过 (2，-1)，(1，b) 两点，

∴

解得

∴这个二次函数的解析式为y＝-x2＋x＋1．

（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（m＋1，a），（m，b）两点，

∴

①-②，得 2am＋a＋b＝a-b．

整理，得 am＋b＝0；

（3）由（2）得，b＝-am，代入②，得c＝b＝-am．

∴y＝ax2-amx-am．

∵当x＝1时，y≥3a，

∴a-am-am≥3a，即-2am≥2a，

∵a＜0，∴m≥-1．

∵该二次函数的最大值为，

∴，即．③

将c＝b＝-am代入③，得，

∴＝＝．

∵m≥-1，

∴≥-3，

∵a＜0

∴a≤．