Question

20．已知抛物线y=ax²+bx-2经过点A（-2，0）、C（$\frac{3}{2}$，0），与y轴交于点B，动点P从原点出发以1个单位/秒的速度沿x轴正方向运动，连接BP，过点A作直线BP的垂线交于y轴于点Q，设点P的运动时间为t秒．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当BQ=$\frac{1}{2}$AP时，求t的值；
（3）随着点P的运动，抛物线上是否存在一点M，使BMPQ为平行四边形？若存在，请直接写出t的值及相应点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）用待定系数法直接求出抛物线解析式；
（2）方法一、先求出点B坐标，再利用△BEQ∽△BOP∽△AEP得出的比例式，求出BE，AE，从而建立方程求解即可；
方法二、先判断出△AOQ≌△BOP，即可得出OP=OQ，再用BQ=$\frac{1}{2}$AP建立方程即可；
（3）先设出点P的坐标，从而表示出直线BP，AQ的解析式，进而表示出Q，M的坐标，再表示出BQ和PM，最后用平行四边形的判定得出BQ=PM，建立方程求解即可．

解答 解：（1）将点A（-2，0）、C（$\frac{3}{2}$，0）代入y=ax²+bx-2中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=4a-2b-2}\\{0=\frac{9}{4}a+\frac{3}{2}b-2}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{2}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x-2．

（2）如图2，

方法一、连接AB，直线AQ与BP交于点E，设点P（t，0）．
当点E在线段BP上时，如图1所示（当点E在线段PB的延长线上时，如图2所示）．
∵AE⊥BP，BO⊥AC，
∴△BEQ∽△BOP∽△AEP，
∴$\frac{BQ}{AP}=\frac{BE}{AE}$=$\frac{1}{2}$．
令y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x-2中x=0，则y=-2，
∴点B（0，-2），
∴AB=2$\sqrt{2}$．
∵AB²=AE²+BE²，
∴BE=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$，AE=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$．
∵AP=t+2，BP=$\sqrt{{t}^{2}+4}$，AP•BO=BP•AE，
∴2（t+2）=$\frac{4\sqrt{10}}{5}$$\sqrt{{t}^{2}+4}$，
解得：t=$\frac{2}{3}$，或t=6；

方法二、∵AQ⊥BP，
∴∠OBP+∠BQE=90°，
∵∠BQE=∠AQO，
∴∠OBP+∠AQO=90°，
∵∠OAQ+∠AQO=90°，
∴∠OAQ=∠OBP，
∵A（-2，0），B（0，-2），
∴OA=OB=2，
在△AOQ和△BOP中，$\left\{\begin{array}{l}{∠OAQ=∠OBP}\\{OA=OB}\\{∠AOQ=∠BOP}\end{array}\right.$，
∴△AOQ≌△BOP，
∴OQ=OP，
设P（t，0），
∴Q（0，-t），
∵A（-2，0），B（0，-2），
∴AP=t-（-2）=t+2，BQ=|-t-（-2）|=|t-2|，
∵BQ=$\frac{1}{2}$AP，
∴|t-2|=$\frac{1}{2}$（t+2），
解得：t=$\frac{2}{3}$，或t=6；

（3）
抛物线上是存在一点M，使BMPQ为平行四边形，
设点P（t，0），
∵B（0，-2），
∴直线PB解析式为y=$\frac{2}{t}$x-2，
∵过点A（-2，0）作直线BP的垂线交于y轴于点Q，
∴直线AQ的解析式为y=-$\frac{t}{2}$x-t，
∴Q（0，-t），
∴BQ=|t-2|，
∵四边形BMPQ为平行四边形，
∴点M只能在y轴右侧，且PM∥BQ，PM=BQ
∴M（t，$\frac{2}{3}$t²+$\frac{1}{3}$t-2），
∴PM=|$\frac{2}{3}$t²+$\frac{1}{3}$t-2|
∴|t-2|=|$\frac{2}{3}$t²+$\frac{1}{3}$t-2|．
①如图3，

当点P在线段OC上，$\frac{2}{3}$t²+$\frac{1}{3}$t-2＜0，
∴t-2=$\frac{2}{3}$t²+$\frac{1}{3}$t-2．
∴t=0（舍）或t=1，
∴M（1，-1）
②如图4，

当点P在OC延长线上，$\frac{2}{3}$t²+$\frac{1}{3}$t-2＞0，
∴-t+2=$\frac{2}{3}$t²+$\frac{1}{3}$t-2．
∴t=-1-$\sqrt{7}$（舍）或t=-1+$\sqrt{7}$，
∴M（-1+$\sqrt{7}$，3-$\sqrt{7}$）
即：当t=1时，M（1，-1）；当t=-1+$\sqrt{7}$时，M（-1+$\sqrt{7}$，3-$\sqrt{7}$）．

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的性质和判定，平行四边形的判定，解方程，用待定系数法求出点Q的坐标是解本题的关键．