【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知点A、B、C的坐标分别为(-1,0),(5,0),(0,2).
(1)求过A、B、C三点的抛物线解析式;
(2)若点P从A点出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动,连接PC并延长到点E,使CE=PC,将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF,连接FB.若点P运动的时间为t秒(0≤t≤6),设△PBF的面积为S;
①求S与t的函数关系式;
②当t是多少时,△PBF的面积最大,最大面积是多少?
(3)点P在移动的过程中,△PBF能否成为直角三角形?若能,直接写出点F的坐标;若不能,请说明理由.
【答案】(1);(2)① S△PBF=t2﹣7t+6(0≤t<1),S△PBF=﹣t2+7t﹣6(1<t<6);②
当t=3.5时,面积最大,且最大值为6.25;(3)能,F点坐标为:(5, )或(5,2).
【解析】分析:(1)因为抛物线过A、B、C三点,所以此三点的坐标使抛物线的解析式成立.(2)①此题要分作两种情况进行讨论:
一、当P点位于原点左侧,线段OA上;此时0≤t<1,可用t表示出OP、BP的长,欲求△BPF的面积,关键要求出BP边上的高,可过F作FD⊥x轴于D;由于∠CPF=90°,易证得△OPC∽△DFP,根据已知条件可知PF=PE=2PC,即两个相似三角形的相似比为2,那么DF=2OP,由此可得到DF的长,以BP为底,DF为高,即可求得△BPF的面积表达式,也就得到了关于S、t的函数关系式;
二、当P点位于原点右侧,线段BP上;此时1<t<6,可仿照一的方法进行求解;
②根据①得到的S、t的函数关系式,及相应的自变量的取值范围,即可根据函数的性质求得S的最大值及对应的t值,然后进行比较即可得到结果.
(3)当P位于线段OA上时,显然△PFB不可能是直角三角形;由于∠BPF<∠CPF=90°,所以P不可能是直角顶点,可分两种情况进行讨论:
①F为直角顶点,过F作FD⊥x轴于D,由(2)可知BP=6-t,DP=2OC=4,在Rt△OCP中,OP=t-1,由勾股定理易求得CP=t2-2t+5,那么PF==4(t-2t+5);在Rt△PFB中,FD⊥PB,由射影定理可求得PB=PF÷PD=t-2t+5,而PB的另一个表达式为:PB=6-t,联立两式可得t-2t+5=6-t,即t=
;
②B为直角顶点,那么此时的情况与(2)题类似,△PFB∽△CPO,且相似比为2,那么BP=2OC=4,即OP=OB-BP=1,此时t=2.
本题解析:(1)(法一)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0),
把A(﹣1,0),B(5,0),C(0,2)
三点代入解析式得: , 解得
∴;
(法二)设抛物线的解析式为y=a(x﹣5)(x+1),
把(0,2)代入解析式得:2=﹣5a,
∴;
∴,
即;
(2)①过点F作FD⊥x轴于D,
当点P在原点左侧时,BP=6﹣t,OP=1﹣t;
在Rt△POC中,∠PCO+∠CPO=90°,
∴∠FPD+∠CPO=90°,
∵∠PCO=∠FPD;
∴∠POC=∠FDP,
∴△CPO∽△PFD,
∴
∴PF=PE=2PC,
∴FD=2PO=2(1﹣t);
∴S△PBF= =t2﹣7t+6(0≤t<1);
当点P在原点右侧时,OP=t﹣1,BP=6﹣t;
∵△CPO∽△PFD,
∴FD=2(t﹣1);∴S△PBF= =﹣t2+7t﹣6(1<t<6);
②当0≤t<1时,S=t2﹣7t+6;
此时t在t=3.5的左侧,S随t的增大而减小,
则有:当t=0时,Smax=0﹣7×0+6=6;
当1<t<6时,S=﹣t2+7t﹣6;
由于1<3.5<6,故当t=3.5时,Smax=﹣3.5×3.5+7×3.5+6=6.25;
综上所述,当t=3.5时,面积最大,且最大值为6.25.
(3)能;①若F为直角顶点,过F作FD⊥x轴于D,
由(2)可知BP=6﹣t,DP=2OC=4,
在Rt△OCP中,OP=t﹣1,
由勾股定理易求得CP2=t2﹣2t+5,
那么PF2=(2CP)2=4(t2﹣2t+5);
在Rt△PFB中,FD⊥PB,
由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+,
而PB的另一个表达式为:PB=6﹣t,
联立两式可得t2﹣2t+5=6﹣t,
即t=,P点坐标为(
,0),
则F点坐标为:(5, );
②B为直角顶点,那么此时的情况与(2)题类似,△PFB∽△CPO,且相似比为2,
那么BP=2OC=4,即OP=OB﹣BP=1,此时t=2,P点坐标为(1,0).FD=2(t﹣1)=2,
则F点坐标为(5,2).
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【题目】函数y=(x﹣1)2﹣2的图象可看作由函数y=x2的图象( )
A.先向右平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
B.先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度
C.先向左平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
D.先向右平移1个单位长度,再向下平移2个单位长度
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【题目】将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′C′ ,如图①所示,∠BAB′ =θ, ,我们将这种变换记为[θ,n] .
(1)如图①,对△ABC作变换[60°,]得到△AB′C′ ,则
:
= ;直线BC与直线B′C′所夹的锐角为 度;
(2)如图②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,对△ABC作变换[θ,n]得到△AB′C′,使点B、C、在同一直线上,且四边形ABB′C′为矩形,求θ和n的值;
(3)如图③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,对△ABC作变换[θ,n]得到△AB′C′,使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB′C′为平行四边形,求θ和n的值.
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【题目】为了解某校全体同学喜欢的NBA篮球明星的情况,小明抽取了七年级一班50名同学进行调查,得到最喜欢的NBA篮球明星的调查结果如下:
A A B C D A B A A C B A A C B C A A B C A A B A C
D B A C D B A C D A A B C D A C B A C A C D C A A
其中:A代表姚明,B代表科比,C代表詹姆斯,D代表麦迪.
填表:
明星 | 划记 | 人数 |
A | ||
B | ||
C | ||
D |
(2)该班同学喜欢最多的是谁?
(3)你认为小明所选取的样本是随机调查的样本吗?
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【题目】某家电商场A、B两种品牌彩电2016年5~12月销售量统计如图.
(1)有人认为B品牌彩电销售量比A品牌彩电销售量增长快.你同意这种观点吗?
(2)根据统计图进行比较、判断时要注意些什么?
(3)如果你是商场经理,从上面的统计图中你能得到哪些信息?对你有什么帮助?
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【题目】(本题满分10分)从M地到N地有一条普通公路,总路程为120km;有一条高速公路,总路程为126km.甲车和乙车同时从M地开往N地,甲车全程走普通公路,乙车先行驶了另一段普通公路,然后再上高速公路.假设两车在普通公路和高速公路上分别保持匀速行驶,其中在普通公路上的行车速度为60km/h,在高速公路上的行车速度为100km/h.设两车出发x h时,距N地的路程为y km,图中的线段AB与折线ACD分别表示甲车与乙车的y与x之间的函数关系.
(1)填空:a= ,b= ;
(2)求线段AB、CD所表示的y与x之间的函数关系式;
(3)两车在何时间段内离N地的路程之差达到或超过30km?
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