Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C的坐标分别为(-1，0)，(5，0)，(0，2)．

（1）求过A、B、C三点的抛物线解析式；

（2）若点P从A点出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度向B点移动，连接PC并延长到点E，使CE=PC，将线段PE绕点P顺时针旋转90°得到线段PF，连接FB．若点P运动的时间为t秒(0≤t≤6)，设△PBF的面积为S；

①求S与t的函数关系式；

②当t是多少时，△PBF的面积最大，最大面积是多少？

（3）点P在移动的过程中，△PBF能否成为直角三角形？若能，直接写出点F的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）;（2）① S△PBF=t2﹣7t+6（0≤t＜1）,S△PBF=﹣t2+7t﹣6（1＜t＜6）；②

当t=3.5时，面积最大，且最大值为6.25;（3）能,F点坐标为：（5， ）或（5，2）．

【解析】分析：（1）因为抛物线过A、B、C三点，所以此三点的坐标使抛物线的解析式成立．（2）①此题要分作两种情况进行讨论：

一、当P点位于原点左侧，线段OA上；此时0≤t<1，可用t表示出OP、BP的长，欲求△BPF的面积，关键要求出BP边上的高，可过F作FD⊥x轴于D；由于∠CPF=90°，易证得△OPC∽△DFP，根据已知条件可知PF=PE=2PC，即两个相似三角形的相似比为2，那么DF=2OP，由此可得到DF的长，以BP为底，DF为高，即可求得△BPF的面积表达式，也就得到了关于S、t的函数关系式；

二、当P点位于原点右侧，线段BP上；此时1<t<6，可仿照一的方法进行求解；

②根据①得到的S、t的函数关系式，及相应的自变量的取值范围，即可根据函数的性质求得S的最大值及对应的t值，然后进行比较即可得到结果．

（3）当P位于线段OA上时，显然△PFB不可能是直角三角形；由于∠BPF<∠CPF=90°，所以P不可能是直角顶点，可分两种情况进行讨论：

①F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，由（2）可知BP=6-t，DP=2OC=4，在Rt△OCP中，OP=t-1，由勾股定理易求得CP=t2-2t+5，那么PF==4（t-2t+5）；在Rt△PFB中，FD⊥PB，由射影定理可求得PB=PF÷PD=t-2t+5，而PB的另一个表达式为：PB=6-t，联立两式可得t-2t+5=6-t，即t=；

②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，那么BP=2OC=4，即OP=OB-BP=1，此时t=2．

本题解析：（1）（法一）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），

把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，2）

三点代入解析式得： ， 解得

∴；

（法二）设抛物线的解析式为y=a（x﹣5）（x+1），

把（0，2）代入解析式得：2=﹣5a，

∴；

∴，

即；

（2）①过点F作FD⊥x轴于D，

当点P在原点左侧时，BP=6﹣t，OP=1﹣t；

在Rt△POC中，∠PCO+∠CPO=90°，

∴∠FPD+∠CPO=90°，

∵∠PCO=∠FPD；

∴∠POC=∠FDP，

∴△CPO∽△PFD，

∴

∴PF=PE=2PC，

∴FD=2PO=2（1﹣t）；

∴S△PBF= =t2﹣7t+6（0≤t＜1）；

当点P在原点右侧时，OP=t﹣1，BP=6﹣t；

∵△CPO∽△PFD，

∴FD=2（t﹣1）；∴S△PBF= =﹣t2+7t﹣6（1＜t＜6）；

②当0≤t＜1时，S=t2﹣7t+6；

此时t在t=3.5的左侧，S随t的增大而减小，

则有：当t=0时，Smax=0﹣7×0+6=6；

当1＜t＜6时，S=﹣t2+7t﹣6；

由于1＜3.5＜6，故当t=3.5时，Smax=﹣3.5×3.5+7×3.5+6=6.25；

综上所述，当t=3.5时，面积最大，且最大值为6.25．

（3）能；①若F为直角顶点，过F作FD⊥x轴于D，

由（2）可知BP=6﹣t，DP=2OC=4，

在Rt△OCP中，OP=t﹣1，

由勾股定理易求得CP2=t2﹣2t+5，

那么PF2=（2CP）2=4（t2﹣2t+5）；

在Rt△PFB中，FD⊥PB，

由射影定理可求得PB=PF2÷PD=t2﹣2t+，

而PB的另一个表达式为：PB=6﹣t，

联立两式可得t2﹣2t+5=6﹣t，

即t=，P点坐标为（，0），

则F点坐标为：（5， ）；

②B为直角顶点，那么此时的情况与（2）题类似，△PFB∽△CPO，且相似比为2，

那么BP=2OC=4，即OP=OB﹣BP=1，此时t=2，P点坐标为（1，0）．FD=2（t﹣1）=2，

则F点坐标为（5，2）．