Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴负半轴交于点A，顶点为B，且对称轴与x轴交于点C。

　　(1)求点B的坐标（用含m的代数式表示）；

　　(2)D为BD中点，直线AD交y轴于E，若点E的坐标为（0,2），求抛物线的解析式；

　　(3)在(2)的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，若以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐标。

Answer 1

【答案】（1）（，- ）；（2）；（3）P1(1, )、P2(-7， )、P3(-5, )．

【解析】试题解析：（1）利用配方法或公式法都能求出点B的坐标．

（2）可过点D作DF⊥x轴于F，那么DF是△BOC的中位线，由此得出DF、OF、CF的长；再由△AFD∽△AOE得出的比例线段以及OE的长，即可求出m的值，由此确定函数的解析式．

（3）此题中，首先要确定点M的位置：已知“△AMC的周长最小”，那么可作点C关于直线BO的对称点C′，连接AC′与直线BO的交点即为符合条件的点M；

确定点M后，由于所求平行四边形的四顶点顺序并不确定，所以分：AM为边和AM为对角线两种情况讨论；在解答时，可根据平行四边形的对边平行且相等的特点，过P、Q作坐标轴的垂线，通过构建全等三角形来确定点P的坐标．

试题解析：（1）∵y＝x22x＝ (x2mx+ m2) m2＝ (xm)2m，

∴抛物线的顶点B的坐标为(m，m)．

（2）令x22x＝0，解得x1=0，x2=m．

∵抛物线y＝x22x与x轴负半轴交于点A，

∴A（m，0），且m＜0．

过点span>D作DF⊥x轴于F，如图；

由D为BO中点，DF∥BC，可得CF=FO=CO．

∴DF=BC．

由抛物线的对称性得AC=OC．

∴AF：AO=3：4．

∵DF∥EO，

∴△AFD∽△AOE．

∴．

由E（0，2），B(m，m)，得OE=2，DF=m．

∴．

∴m=-6．

∴抛物线的解析式为y＝x22x．

（3）依题意，得A（-6，0）、B（-3，3）、C（-3，0）．可得直线OB的解析式为y=-x，直线BC为x=-3．

作点C关于直线BO的对称点C′（0，3），连接AC′交BO于M，则M即为所求．

由A（-6，0），C′（0，3），可得直线AC′的解析式为y＝x+3．

由

解得

∴点M的坐标为（-2，2）．

由点P在抛物线y＝x22x上，设P（t，t22t）．

（ⅰ）当AM为所求平行四边形的一边时．

①如图，过M作MG⊥x轴于G，过P1作P1H⊥BC于H，

则xG=xM=-2，xH=xB=-3．

∵四边形AMP1Q1为平行四边形，

∴AM=Pspan>1Q1，∠P1Q1H=∠AKC，

∵BK∥MG，

∴∠AMG=∠AKC，

∴∠P1Q1H=∠AMG，

∵，

∴△AMG≌△P1Q1H．

∴P1H=AG=4．

∴t-（-3）=4．

∴t=1．

∴P1(1，)．

②如图，

同①方法可得P2H=AG=4．

∴-3-t=4．

∴t=-7．

∴P2(7，)．

（ⅱ）当AM为所求平行四边形的对角线时，如图；

过M作MH⊥BC于H，过P3作P3G⊥x轴于G，则xH=xB=-3，xG=xP3=t．

由四边形AP3MQ3为平行四边形，可证△AP3G≌△MQ3H．

可得AG=MH=1．

∴t-（-6）=1．

∴t=-5．

∴P3(5， )．

综上，点P的坐标为P1(1， )、P2(7， )、P3(5， )．