Question

16．如图，BC为⊙O的直径，AD⊥BC于点D，P是$\widehat{AC}$上的动点，连接PB分别交AD，AC于点E，F．
（1）当AB=AP时，AE与BE相等吗？为什么？
（2）当点P在什么位置时，AF=EF？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）由圆周角定理知：AB⊥AC，在Rt△ABC中，AD⊥BC，易证得∠BAD=∠C，已知PA=AB，可得∠ABE=∠C，所以∠ABE=∠BAD，即AE=BE；
（2）当AF=EF时，∠FAE=∠FEA，易得∠FAE=∠ABD，∠FEA=∠DEB，因此∠BED=∠ABD，那么它们的余角也相等，即∠FBC=∠BAD，由（1）知∠BAD=∠C，即∠FBC=∠C，那么弧PC=弧AB，因此当弧PC=弧AB时，AF=EF．

解答 （1）证明：∵BC为⊙O的直径，
∴AB⊥AC，
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD+∠DAC=∠C+∠DAC=90°，
∴∠BAD=∠C，
∵AB=AP，
∴∠ABE=∠C，
∴∠ABE=∠BAD．
∴AE=BE；

（2）当弧PC=弧AB时，AF=EF，
证明：∵弧PC=弧AB，
∴∠PBC=∠C，
∴90°-∠PBC=90°-∠C，
即∠BED=∠DAC，
∵∠BED=∠AEF，
∴∠DAC=∠AEF，
∴AF=EF．

点评 主要考查了圆中的有关性质，掌握其中的圆周角定理、圆心角、弧、圆周角之间的关系是解题的关键．