Question

5．如图①，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB的平分线交BC于点O，以O为圆心，OB长为半径作⊙O．
（1）求证：⊙O与AC相切．
（2）若AB=6，AC=10．
①求⊙O的半径；
②如图②，延长AO交⊙O于点D，过点D作⊙O的切线，分别交AC、AB的延长线于E、F，试求EF的长．

Answer 1

分析 （1）根据角平分线的性质，可以证明本结论成立；
（2）①根据切线的性质可知AB=AM，根据勾股定理可以求得BC的长，进而可以求得圆的半径的长；
②根据题意可以求得AD的长，然后根据三角形相似可以求得DF的长，由等腰三角形的性质可以求得EF的长．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，∠CAB的平分线是AO，
∴点O到AB和到AC的距离相等，
∴点O到AC的距离等于圆O的半径，
∴⊙O与AC相切；
（2）①作OM⊥AC于点M，如右图所示，
∵AB=6，AC=10，∠ABC=90°，
∴BC=8，AB=AM=6，
∴MC=4，OC=8-OB，
设圆O的半径是r，
∴r²+4²=（8-r）²
解得，r=3，
即⊙O的半径是3；
②∵AB=6，BO=3，∠ABO=90°，
∴AO=$3\sqrt{5}$，
∴AD=3+3$\sqrt{5}$，
∵AD⊥EF，
∴∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠ABO=90°，
∵∠DAF=∠BAO，
∴△DAF∽△BAO，
∴$\frac{AD}{DF}=\frac{AB}{BO}$，
即$\frac{3+3\sqrt{5}}{DF}=\frac{6}{3}$，
解得，DF=$\frac{3+3\sqrt{5}}{2}$，
∵AD平分∠EAF，AD⊥EF，
∴EF=2DF=3$+3\sqrt{5}$．

点评 本题考查切线的性质与判定，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用勾股定理和三角形的相似解答．