Question

如图，△ABC中，AB＞AC，DF垂直平分BC交△BAC的外角平分线AD于点D，F为垂足，DE⊥AB 于E，连接BD，CD．求证：∠DBE=∠DCA．

Answer 1

证明：过D作DG⊥AC，
∵DF是BC的垂直平分线，
∴BD=DC，
∵AD是△ABC的外角平分线，DE⊥AB，DG⊥AC，
∴DE=DG，
∵DE⊥AB，DG⊥AC，
∴∠DEB=∠DGC=90°，
∵在Rt△DBE和Rt△DCG中，
，
∴Rt△DBE和Rt△DCG（HL），
∴∠DBE=∠DCA．
分析：过D作DG⊥AC，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得BD=CD，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DG，然后利用“HL”证明Rt△DBE和Rt△DCG全等，根据全等三角形对应角相等证明即可．
点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．