Question

【题目】综合与实践

问题情境

在综合与实践课上，老师组织同学们以“直角三角形的旋转”为主题开展数学活动．如图1，矩形ABCD中，AD=2AB，连接AC，将△ABC绕点A旋转到某一位置，观察图形，提出问题并加以解决．

实践操作

（1）如图2，慎思组的同学将图1中的△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，得到△A'B'C'，此时B'C过点D，则∠ADB= 　度．

（2）博学组的同学在图2的基础上继续旋转到图3，此时点C'落在CD的延长线上，连接BB'，该组提出下面两个问题：

①C'D和AB有何数量关系？并说明理由．

②BB'和AC′有何位置关系？并说明理由．

请你解决该组提出的这两个问题．

提出问题

（3）请你参照以上操作，将图1中的△ABC旋转至某一位置，在图4中画出新图形，表明字母，说明构图方法，并提出一个问题，不必解答．

Answer 1

【答案】（1）30（2）①C′D=AB②见解析（3）见解析

【解析】

（1）由旋转性质知AB=AB′、∠B′=∠B=90°，结合AD=BC=2AB可得AD=2AB′，根据直角三角形的性质即可求解；（2）①C′D=AB，利用“HL”证Rt△ADC′≌Rt△ABC即可得；②过点C′作C′H垂直于BA延长线于点H，证△C′HA≌△C′B′A得∠HAC′=∠C′AB，由AB=AB′知∠ABB′=∠AB′B，据此根据∠HAB′=∠ABB′+∠AB′B可得2∠C′AB′=2∠AB′B，即可证得结论；（3）将△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得△AB′C′，AB′与对角线AC重合时，B′C′与AD交于点M，求S△AB′M：S△ADC的值？利用相似三角形的判定与性质即可解决此题．

（1）由题意知△ABC≌△AB′C′，

∴AB=AB′、∠B′=∠B=90°，

∵AD=BC=2AB，

∴在Rt△AB′D中，AD=2AB′，

则∠ADB′=30°，

故答案为：30；

（2）①C′D=AB，理由如下：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC、∠ABC=∠ADC=∠ADC′=90°，

由旋转知AC′=AC，

在Rt△ADC′和Rt△ABC中，

∵，

∴Rt△ADC′≌Rt△ABC（HL），

∴C′D=AB；

②如图a，过点C′作C′H垂直于BA延长线于点H，

则四边形HADC′是矩形，

∴C′H=AD、AH=C′D=AB，

在△C′HA和△C′B′A中，

∵，

∴△C′HA≌△C′B′A（SSS），

∴∠HAC′=∠C′AB，

又∵AB=AB′，

∴∠ABB′=∠AB′B，

在△ABB′中，∠HAB′=∠ABB′+∠AB′B，即∠HAC′+∠C′AB′=∠ABB′+∠AB′B，

∴2∠C′AB′=2∠AB′B，

∴∠C′AB′=∠AB′B，

∴AC′∥BB′；

（3）如图b，

将△ABC以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转得△AB′C′，AB′与对角线AC重合时，B′C′与AD交于点M，求S△AB′M：S△ADC的值？