Question

【题目】如图，点是的角平分线上一点，于点，点是线段上一点．已知，，点为上一点．若满足，则的长度为（ ）

A.3B.5C.5和7D.3或7

Answer 1

【答案】D

【解析】

过点P作PE⊥AO于E，根据角平分线的性质和定义可得PE=PN，∠POE=∠PON，∠PEO=∠PNO=90°，再根据角平分线的性质可得OE=ON=5，然后根据点D与点E的先对位置分类讨论，分别画出对应的图形，利用HL证出Rt△PDE≌Rt△PMN，可得DE=MN，即可求出OD．

解：过点P作PE⊥AO于E

∵OC平分∠AOB，，

∴PE=PN，∠POE=∠PON，∠PEO=∠PNO=90°

∴∠OPE=90°－∠POE=90°－∠PON=∠OPN

∴PO平分∠EPN

∴OE=ON=5

①若点D在点E左下方时，连接PD，如下图所示

在Rt△PDE和Rt△PMN中

∴Rt△PDE≌Rt△PMN

∴DE=MN

∵MN=ON－OM=2

∴DE=2

∴OD=OE－DE=3

②若点D在点E右上方时，连接PD，如下图所示

在Rt△PDE和Rt△PMN中

∴Rt△PDE≌Rt△PMN

∴DE=MN

∵MN=ON－OM=2

∴DE=2

∴OD=OE＋DE=7

综上所述：OD=3或7．

故选D．