Question

【题目】如图，AC平分钝角∠BAE交过B点的直线于点C，BD平分∠ABC交AC于点D，且∠BAD+∠ABD＝90°．

（1）求证：AE∥BC；

（2）点F是射线BC上一动点（点F不与点B，C重合），连接AF，与射线BD相交于点P．

（ⅰ）如图1，若∠ABC＝45°，AF⊥AB，试探究线段BF与CF之间满足的数量关系；

（ⅱ）如图2，若AB＝10，S△ABC＝30，∠CAF＝∠ABD，求线段BP的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）（ⅰ）BF＝（2+）CF；理由见解析；（ⅱ）BP＝．

【解析】

（1）先求出∠BAE+∠ABC＝180°，再根据同旁内角互补两直线平行，即可证明AE∥BC．

（2）（ⅰ）过点A作AH⊥BC于H，如图1所示，先证明△ABH、△BAF是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质，求证BF＝（2+）CF即可．

（ⅱ）①当点F在点C的左侧时，作PG⊥AB于G，如图2所示，先通过三角形面积公式求出AF的长，再根据勾股定理求得BF、AC、BD的长，证明Rt△BPG≌Rt△BPF（HL），以此得到AD的长，设AP＝x，则PG＝PF＝6﹣x，利用勾股定理求出AP的长，再利用勾股定理求出PD的长，通过BP＝BD﹣PD即可求出线段BP的长．

②当点F在点C的右侧时，则∠CAF＝∠ACF'，P’和F’分别对应图2中的P和F，如图3所示，根据等腰三角形的性质求得PD＝P'D＝，再根据①中的结论，可得BP＝BP'+ P'P＝．

（1）∵AC平分钝角∠BAE，BD平分∠ABC，

∴∠BAE＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABD，

∴∠BAE+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABD）＝2×90°＝180°，

∴AE∥BC；

（2）解：（ⅰ）BF＝（2+）CF；理由如下：

∵∠BAD+∠ABD＝90°，

∴BD⊥AC，

∴∠CBD+∠BCD＝90°，

∵∠ABD＝∠CBD，

∴∠BAD＝∠BCD，

∴AB＝BC，

过点A作AH⊥BC于H，如图1所示：

∵∠ABC＝45°，AF⊥AB，

∴△ABH、△BAF是等腰直角三角形，

∴AH＝BH＝HF，BC＝AB＝BH，BF＝AB＝×BH＝2BH，

∴CF＝BF﹣BC＝2BH﹣BH＝（2﹣）BH，

∴BH＝ ＝（1+）CF，

∴BF＝2（1+）CF＝（2+）CF；

（ⅱ）①当点F在点C的左侧时，如图2所示：

同（ⅰ）得：∠BAD＝∠BCD，

∴AB＝BC＝10，

∵∠CAF＝∠ABD，∠BAD+∠ABD＝90°，

∴∠BCD+∠CAF＝90°，

∴∠AFC＝90°，

∴AF⊥BC，

则S△ABC＝BCAF＝×10×AF＝30，

∴AF＝6，

∴BF＝＝8，

∴CF＝BC﹣BF＝10﹣8＝2，

∴AC＝＝2 ，

∵S△ABC＝ACBD＝×2×BD＝30，

∴BD＝3，

作PG⊥AB于G，则PG＝PF，

在Rt△BPG和Rt△BPF中，

，

∴Rt△BPG≌Rt△BPF（HL），

∴BG＝BF＝8，

∴AG＝AB﹣BG＝2，

∵AB＝CB，BD⊥AC，

∴AD＝CD＝AC＝，

设AP＝x，则PG＝PF＝6﹣x，

在Rt△APG中，由勾股定理得：22+（6﹣x）2＝x2，

解得：x＝，

∴AP＝，

∴PD＝，

∴BP＝BD﹣PD＝；

②当点F在点C的右侧时，P’和F’分别对应图2中的P和F，如图3所示 ，则∠CAF＝∠CAF'，

∵BD⊥AC，

∴

∴∠APD＝∠AP'D，

∴△是等腰三角形

∴AP＝AP'，PD＝P'D＝，

∴BP＝BP'+ P'P＝；

综上所述，线段BP的长为或 ．