【题目】如图1,Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,点D是BC边的中点连接AD,则易证AD=BD=CD,即AD=BC;如图2,若将题中AB=AC这个条件删去,此时AD仍然等于BC.
理由如下:延长AD到H,使得AH=2AD,连接CH,先证得△ABD≌△CHD,此时若能证得△ABC≌△CHA,
即可证得AH=BC,此时AD=BC,由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法.
(1)请你先证明△ABC≌△CHA,并用一句话总结题中的结论;
(2)现将图1中△ABC折叠(如图3),点A与点D重合,折痕为EF,此时不难看出△BDE和△CDF都是等腰直角三角形.BE=DE,CF=DF.由勾股定理可知DE2+DF2=EF2,因此BE2+CF2=EF2,若图2中△ABC也进行这样的折叠(如图4),此时线段BE、CF、EF还有这样的关系式吗?若有,请证明;若没有,请举反例.
(3)在(2)的条件下,将图3中的△DEF绕着点D旋转(如图5),射线DE、DF分别交AB、AC于点E、F,此时(2)中结论还成立吗?请说明理由.图4中的△DEF也这样旋转(如图6),直接写出上面的关系式是否成立.
【答案】(1)详见解析;(2)有这样分关系式;(3)EF2=BE2+CF2.
【解析】
(1)想办法证明AB∥CH,推出∠BAC=∠ACH,再利用SAS证明△ABC≌△CHA即可.
(2)有这样分关系式.如图4中,延长ED到H山顶DH=DE.证明△EDB≌△HD(SAS),推出∠B=∠HCD,BE=CH,∠FCH=90°,利用勾股定理,线段的垂直平分线的性质即可解决问题.
(3)图5,图6中,上面的关系式仍然成立.
(1)证明:如图2中,
∵BD=DC,∠ADB=∠HDC,AD=HD,
∴△ADB≌△HDC(SAS),
∴∠B=∠HCD,AB=CH,
∴AB∥CH,
∴∠BAC+∠ACH=180°,
∵∠BAC=90°,
∴∠ACH=∠BAC=90°,
∵AC=CA,
∴△BAC≌△HCA(SAS),
∴AH=BC,
∴AD=DH=BD=DC,
∴AD=BC.
结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
(2)解:有这样分关系式.
理由:如图4中,延长ED到H山顶DH=DE.
∵ED=DH,∠EDB=∠HDC,DB=DC,
∴△EDB≌△HDC(SAS),
∴∠B=∠HCD,BE=CH,
∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠HCD=90°,
∴∠FCH=90°,
∴FH2=CF2+CH2,
∵DF⊥EH,ED=DH,
∴EF=FH,
∴EF2=BE2+CF2.
(3)图5,图6中,上面的关系式仍然成立.结论:EF2=BE2+CF2.
证明方法类似(2).
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【题目】计算下列各题.
①(x2+3)(3x2﹣1)
②(4x2y﹣8x3y3)÷(﹣2x2y)
③[(m+3)(m﹣3)]2
④10﹣2×100+105÷103
⑤
⑥,其中x满足x2﹣x﹣1=0.
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【题目】如图,AC平分钝角∠BAE交过B点的直线于点C,BD平分∠ABC交AC于点D,且∠BAD+∠ABD=90°.
(1)求证:AE∥BC;
(2)点F是射线BC上一动点(点F不与点B,C重合),连接AF,与射线BD相交于点P.
(ⅰ)如图1,若∠ABC=45°,AF⊥AB,试探究线段BF与CF之间满足的数量关系;
(ⅱ)如图2,若AB=10,S△ABC=30,∠CAF=∠ABD,求线段BP的长.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,∠BAD=130°,∠B=∠D=90°,在BC,CD上分别找一点M,N,使三角形AMN周长最小时,则∠MAN的度数为_________.
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【题目】如图1,对于平面内的点P和两条曲线、给出如下定义:若从点P任意引出一条射线分别与、交于、,总有是定值,我们称曲线与“曲似”,定值为“曲似比”,点P为“曲心”.
例如:如图2,以点为圆心,半径分别为、都是常数的两个同心圆、,从点任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N,因为总有是定值,所以同心圆与曲似,曲似比为,“曲心”为.
在平面直角坐标系xOy中,直线与抛物线、分别交于点A、B,如图3所示,试判断两抛物线是否曲似,并说明理由;
在的条件下,以O为圆心,OA为半径作圆,过点B作x轴的垂线,垂足为C,是否存在k值,使与直线BC相切?若存在,求出k的值;若不存在,说明理由;
在、的条件下,若将“”改为“”,其他条件不变,当存在与直线BC相切时,直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式.
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【题目】商店只有雪碧、可乐、果汁、奶汁四种饮料,每种饮料数量充足,某同学去该店购买饮料,每种饮料被选中的可能性相同.
(1)若他去买一瓶饮料,则他买到奶汁的概率是 ;
(2)若他两次去买饮料,每次买一瓶,且两次所买饮料品种不同,请用树状图或列表法求出他恰好买到雪碧和奶汁的概率.
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【题目】某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元,销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元.
(1)求每台A型电脑和B型电脑的销售利润;
(2)该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台,其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍,设购进A型电脑x台,这100台电脑的销售总利润为y元.
①求y关于x的函数关系式;
②该商店购进A型、B型电脑各多少台,才能使销售总利润最大?
(3)实际进货时,厂家对A型电脑出厂价下调m(0<m<100)元,且限定商店最多购进A型电脑70台,若商店保持同种电脑的售价不变,请你根据以上信息及(2)中条件,设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案.
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【题目】为了解某校学生的课余兴趣爱好情况,某调查小组设计了“阅读”、“打球”、“书法”和“舞蹈”四个选项,用随机抽样的方法调查了该校部分学生的课余兴趣爱好情况(每个学生必须选一项且只能选一项),并根据调查结果绘制了如图统计图:
根据统计图所提供的倍息,解答下列问题:
(1)本次抽样调查中的学生人数是多少人;
(2 )补全条形统计图;
(3)若该校共有2000名学生,请根据统计结果估计该校课余兴趣爱好为“打球”的学生人数;
(4)现有爱好舞蹈的两名男生两名女生想参加舞蹈社,但只能选两名学生,请你用列表或画树状图的方法,求出正好选到一男一女的概率.
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