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【题目】如图1RtABC中,∠A90°ABAC,点DBC边的中点连接AD,则易证ADBDCD,即ADBC;如图2,若将题中ABAC这个条件删去,此时AD仍然等于BC

理由如下:延长ADH,使得AH2AD,连接CH,先证得ABD≌△CHD,此时若能证得ABC≌△CHA

即可证得AHBC,此时ADBC,由此可见倍长过中点的线段是我们三角形证明中常用的方法.

1)请你先证明ABC≌△CHA,并用一句话总结题中的结论;

2)现将图1ABC折叠(如图3),点A与点D重合,折痕为EF,此时不难看出BDECDF都是等腰直角三角形.BEDECFDF.由勾股定理可知DE2+DF2EF2,因此BE2+CF2EF2,若图2ABC也进行这样的折叠(如图4),此时线段BECFEF还有这样的关系式吗?若有,请证明;若没有,请举反例.

3)在(2)的条件下,将图3中的DEF绕着点D旋转(如图5),射线DEDF分别交ABAC于点EF,此时(2)中结论还成立吗?请说明理由.图4中的DEF也这样旋转(如图6),直接写出上面的关系式是否成立.

【答案】(1)详见解析;(2)有这样分关系式;(3)EF2BE2+CF2.

【解析】

1)想办法证明ABCH,推出∠BAC=∠ACH,再利用SAS证明ABC≌△CHA即可.

2)有这样分关系式.如图4中,延长EDH山顶DHDE.证明EDB≌△HDSAS),推出∠B=∠HCDBECH,∠FCH90°,利用勾股定理,线段的垂直平分线的性质即可解决问题.

3)图5,图6中,上面的关系式仍然成立.

1)证明:如图2中,

BDDC,∠ADB=∠HDCADHD

∴△ADB≌△HDCSAS),

∴∠B=∠HCDABCH

ABCH

∴∠BAC+ACH180°

∵∠BAC90°

∴∠ACH=∠BAC90°

ACCA

∴△BAC≌△HCASAS),

AHBC

ADDHBDDC

ADBC

结论:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.

2)解:有这样分关系式.

理由:如图4中,延长EDH山顶DHDE

EDDH,∠EDB=∠HDCDBDC

∴△EDB≌△HDCSAS),

∴∠B=∠HCDBECH

∵∠B+ACB90°

∴∠ACB+HCD90°

∴∠FCH90°

FH2CF2+CH2

DFEHEDDH

EFFH

EF2BE2+CF2

3)图5,图6中,上面的关系式仍然成立.结论:EF2BE2+CF2

证明方法类似(2).

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