Question

【题目】如图1，对于平面内的点P和两条曲线、给出如下定义：若从点P任意引出一条射线分别与、交于、，总有是定值，我们称曲线与“曲似”，定值为“曲似比”，点P为“曲心”．

例如：如图2，以点为圆心，半径分别为、都是常数的两个同心圆、，从点任意引出一条射线分别与两圆交于点M、N，因为总有是定值，所以同心圆与曲似，曲似比为，“曲心”为．

在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线、分别交于点A、B，如图3所示，试判断两抛物线是否曲似，并说明理由；

在的条件下，以O为圆心，OA为半径作圆，过点B作x轴的垂线，垂足为C，是否存在k值，使与直线BC相切？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

在、的条件下，若将“”改为“”，其他条件不变，当存在与直线BC相切时，直接写出m的取值范围及k与m之间的关系式．

Answer 1

【答案】（1）两抛物线曲似，理由详见解析；（2）存在k值，使与直线BC相切，；（3），．

【解析】

过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，根据题意可得、、、，由知，据此可可解答；假设存在k值，使与直线BC相切，据此知，根据及对称性可得答案；同理可得、、、，由切线性质知，根据可得m的范围，由可得k与m之间的关系式．

是，

过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为D、C，

依题意可得、，

因此、，

轴、轴，

，

，

两抛物线曲似，曲似比为；

假设存在k值，使与直线BC相切，

则，

又、，并且，

，

解得：负值舍去，

由对称性可取，

综上，；

根据题意得、，

因此、，

与直线BC相切，

，

由可得，

则，

由、，并且，

，

整理，得：．