Question

【题目】如图，等腰直角三角形中，，，点坐标为，点坐标为，且 ，满足．

(1)写出、两点坐标；

(2)求点坐标；

(3)如图，，为上一点，且，请写出线段的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）点A的坐标为，点C的坐标为；（2）点B的坐标为（2,4）；（3）MN= CN＋AM，理由见解析

【解析】

（1）根据绝对值的非负性和平方的非负性即可求出a、b的值，从而求出、两点坐标；

（2）过点A作AE∥y轴，过点B作BE⊥AE，作BD⊥x轴，设点B的坐标为（x，y），分别用x、y表示出CD、BE、AE的长，然后利用AAS证出△EBA≌△DBC，可得BE=BD，AE=CD，列出方程即可求出点B的坐标；

（3）过点B作BF⊥BM，交AC的延长线与点F，连接MF，利用SAS证出△ABM≌△CBF，从而得到AM=CF，BM=BF，∠AMB=∠CFB，根据等边对等角可得∠BMF=∠BFM，然后证出∠FMN=∠MFN，再根据等角对等边可得MN=NF，即可得出结论．

解：（1）∵

∴

∵

∴

解得：a=-2，b=2

∴点A的坐标为，点C的坐标为；

（2）过点A作AE∥y轴，过点B作BE⊥AE，作BD⊥x轴，如下图所示

设点B的坐标为（x，y）

∴BD=y，OD=x

∴CD=4－x，BE=x－（-2）=x＋2，AE=y－2

∵BD⊥x轴

∴BD∥y轴

∴AE∥BD

∴∠DBE=180°－∠AEB=90°

∴∠EBA＋∠ABD=90°

∵等腰直角三角形中，，

∴∠DBC＋∠ABD=90°

∴∠EBA=∠DBC

在△EBA和△DBC中

∴△EBA≌△DBC

∴BE=BD，AE=CD

即x＋2= y，y－2=4－x

解得：x=2，y=4

∴点B的坐标为（2,4）；

（3）MN= CN＋AM，理由如下

过点B作BF⊥BM，交AC的延长线与点F，连接MF

∴∠MBC＋∠CBF=90°

∵△ABC为等腰三角形

∴BA=BC，∠BAC=∠BCA=45°，∠ABC=90°

∴∠MBC＋∠ABM=90°，∠BCF=180°－∠BCA=135°，∠BAM=∠MAC＋∠BAC=135°

∴∠ABM =∠CBF，∠BAM=∠BCF

在△ABM和△CBF中

∴△ABM≌△CBF

∴AM=CF，BM=BF，∠AMB=∠CFB

∴∠BMF=∠BFM，

∵

∴∠NMB=∠CFB

∴∠BMF－∠NMB=∠BFM－∠CFB

∴∠FMN=∠MFN

∴MN=NF

∵NF=CN＋CF

∴MN=CN＋AM