Question

【题目】平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴相交于点C，与x轴正半轴相交于点A，OA=OC，与x轴的另一个交点为B，对称轴是直线x=1，顶点为P．

（1）求这条抛物线的表达式和顶点P的坐标；

（2）抛物线的对称轴与x轴相交于点M，求∠PMC的正切值；

（3）点Q在y轴上，且△BCQ与△CMP相似，求点Q的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（1，4）（2）（0， ）或（0，-1）

【解析】试题分析：（1）先求得点C的坐标，再由OA=OC得到点A的坐标，再根据抛物线的对称性得到点B的坐标，利用待定系数法求得解析式后再进行配方即可得到顶点坐标；

（2）由OC//PM，可得∠PMC=∠MCO，求tan∠MCO即可 ；

（3）分情况进行讨论即可得.

试题解析：（1）当x=0时，抛物线y=ax2+bx+3=3，所以点C坐标为（0，3），∴OC=3，

∵OA=OC，∴OA=3，∴A（3，0），

∵A、B关于x=1对称，∴B（-1，0），

∵A、B在抛物线y=ax2+bx+3上，

∴ ，∴ ，

∴抛物线解析式为：y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，

∴顶点P（1，4）；

（2）由（1）可知P（1，4），C（0，3），所以M（1，0），∴OC=3，OM=1，

∵OC//PM，∴∠PMC=∠MCO，

∴tan∠PMC=tan∠MCO= = ；

（3）Q在C点的下方，∠BCQ=∠CMP，

CM=,PM=4，BC=，

∴或 ，

∴CQ=或4，

∴Q1(0， ),Q2（0，-1）.