Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，点F在AD上，且AF=AB，AE平分∠BAD交BC于点E，连接EF，BF，与AE交于点O．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若四边形ABEF的周长为40，BF=10，求AE的长及四边形ABEF的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AE=10，四边形ABEF的面积=50.

【解析】

（1）由平行四边形的性质和角平分线得出∠BAE=∠AEB，证出BE=AB，由AF=AB得出BE=AF，即可得出结论．

（2）根据菱形的性质可得AB=10，AE⊥BF，BO=FB=5，AE=2AO，利用勾股定理计算出AO的长，进而可得AE的长．菱形的面积=对角线乘积的一半．

（1）证明∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB，

∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE=∠DAE，

∴∠BAE=∠AEB，

∴BE=AB，且AF=AB，

∴BE=AF，

又∵BE∥AF，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AF=AB，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）∵四边形ABEF为菱形，且周长为40，BF=10

∴AB=BE=EF=AF=10，AE⊥BF，BO=FB=5，AE=2AO，

在Rt△AOB中，AO=，

∴AE=2AO=10．

∴四边形ABEF的面积=BFAE=×10×10=50