Question

9． 如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（-2，3）、B（-6，0）、C（-1，0）．
（1）画出△ABC关于C点对称的△DEC，则点A的对应点D的坐标为（0，-3）．
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°得△A′B′C，画出图形，则点A的对应点A′坐标为（-3，-2）．
（3）△CDE与△A′B′C′重叠部分的面积为$\frac{3}{5}$．

Answer 1

分析 （1）利用中心对称的性质画出点A和B的对称点D和E点，再写出D点坐标；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到△A′B′C，再写出A′点的坐标；
（3）根据旋转的性质得AC⊥A′C′，而点A和点D关于C点对称，则AD⊥A′C′，设AD交A′C′于F，证明Rt△DFC′∽Rt△DOC，利用相似比可计算出DF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，FC′=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，则根据三角形的面积公式计算S_△FDC′即可．

解答 解：（1）如图，△DEC为所作，点D的坐标为（0，-3）；
（2）如图，△A′B′C为所作，点A′坐标为（-3，-2）；
（3）∵△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°得△A′B′C，
∴AC⊥A′C′，
∵点A和点D关于C点对称，
∴点D在AC的延长线上，
∴AD⊥A′C′，
设AD交A′C′于F，
OC=1，OD=3，DC′=2，CD=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵∠FDC′=∠ODC，
∴Rt△DFC′∽Rt△DOC，
∴$\frac{DF}{OD}$=$\frac{FC′}{OC}$=$\frac{DC′}{DC}$，即$\frac{DF}{3}$=$\frac{FC′}{1}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$，
∴DF=$\frac{3\sqrt{10}}{5}$，FC′=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴S_△DFC′=$\frac{1}{2}$×$\frac{3\sqrt{10}}{5}$×$\frac{\sqrt{10}}{5}$=$\frac{3}{5}$．
即△CDE与△A′B′C′重叠部分的面积为$\frac{3}{5}$．
故答案为（0，-3），（-3，-2），$\frac{3}{5}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了相似三角形的判定与性质．