Question

如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交底边BC于D．
（1）求证：BD=CD：
（2）若AB=5，tan∠ABC=

3

4

，在腰AC上取一点E使AE=1.8，试判断DE与⊙O的位置关系，并证明．

Answer 1

考点：切线的判定,等腰三角形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）连接AD．根据直径所对的圆周角是直角，得到AD⊥BC，再根据等腰三角形三线合一的性质即可证明；
（2）连接OD，根据三角形的中位线定理得到OD∥AC，再证明△ABD∽△DCE，得出∠ADB=∠DEC=90°，根据平行线的性质得到∠ODE=∠DEC=90°，从而证明DE为⊙O的切线．

解答：（1）证明：连接AD．
∵AB为⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又AB=AC，
∴BD=CD；

（2）解：DE为⊙O的切线．理由如下：
连接OD．
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC．
在直角△ABD中，∵∠ADB=90°，AB=5，tan∠ABC=

3

4

，
∴AD=3，BD=4．
在△DCE中，DC=4，CE=5-1.8=3.2，
∴

AB

BD

=

DC

CE

=

5

4

．
∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
在△ABD与△DCE中，

AB DC = BD CE ∠B=∠C

，
∴△ABD∽△DCE，
∴∠ADB=∠DEC=90°，
∵OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEC=90°，
∴DE与⊙O相切．

点评：此题综合运用了圆周角定理的推论，即直径所对的圆周角是直角；等腰三角形的性质，即等腰三角形底边上的高也是底边上的中线；三角形的中位线定理以及平行线的性质；切线的判定，即经过半径的外端，且垂直于半径的直线是圆的切线．注意：构造直径所对的圆周角和连接过切点的半径是圆中常见的辅助线之一．