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【题目】1)如图(1),在平行四边形ABCD中,DEABBFCD,垂足分别为EF,求证:AE=CF

2)如图(2),在平行四边形ABCD中,ACBD是两条对角线,求证AC2+BD2=2AB2+BC2

3)如图(3),PQPMN的中线,若PM=11PN=13MN=10,求出PQ的长度.

【答案】1)见解析;(2)见解析;(32

【解析】

1)利用平行四边形的性质,判定RtAEDRtCFB,即可得到AE=CF

2)分别过ADAEBCCB延长线于EDFBCF.根据勾股定理可得:AC2=AE2+BE+BC2①,AE2=AB2-BE2②,BD2=DF2+BC-CF2③,DF2=DC2-CF2④,②代①,④代③,两式相加即可得到结论;

3)延长PQR,使得QR=PQ,连接RMRN,依据四边形NPMR是平行四边形,利用结论MN2+PR2=2NP2+MP2),即可得出PQ的长.

解:(1)∵平行四边形ABCD中,DEABBFCD

AD=CBDE=BF,∠AED=CFB=90°

RtAEDRtCFB中,

,

RtAEDRtCFBHL),

AE=CF

2)如图(2),分别过ADAEBCCB延长线于EDFBCF

根据勾股定理可得:AC2=AE2+BE+BC 2 ①,AE2=AB2-BE2②,

BD2=DF2 +BC-CF2 ③,DF2=DC2-CF2 ④,

∵四边形ABCD是平行四边形,

AB=DC

又∵AEBCDFBC

∴∠AEB=DFC=90°AE=DF

RtAEBRtDFCHL),

BE=CF,而AB=DC

把②代①,④代③,可得:

AC2=AB2 -BE2 +BE+BC2

BD2=DC2 -CF2+BC-CF2

两式相加,可得:AC2 +BD2=2AB2 +BC2);

3)如图(3),延长PQR,使得QR=PQ,连接RMRN

PQ是△PMN的中线,

NQ=MQ

∴四边形NPMR是平行四边形,

由(2)可得,MN2 +PR2=2NP2 +MP2),

又∵PM=11PN=13MN=10

102 +2PQ2=2132+112),

解得PQ=2

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