Question

【题目】小明遇到这样一个问题，如图，△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC.求∠C的度数。小明通过探究发现，延长CD至点Q，使BQ=AB,再证明△ADC≌△ADQ,使问题得到解决.

（1）根据阅读材料回答，△ADC≌△ADQ的条件是________(填SSS,SAS,AAS,ASA,或HL)

（2）参考小明思考问题的方法，解答下列问题：求∠C的度数;

（3）解决问题，如图，已知，△ABC中，过点B任意作射线l，在l上取一点D，使∠ABD=∠ACD，AM⊥BD于点M，且BM=MD+CD。探究AB与AC的数量关系，并证明.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）∠C=20°；（3）AB=AC，理由见解析.

【解析】

（1）根据SAS即可证明；

（2）根据△ADQ≌△ADC，推出∠ABC=2∠Q=2∠C，即可解决问题；

（3）如图，在MB上截取MH=DM，连接AH、AD，作HF⊥AB于F，作DE⊥AC于E，先证明△BHF≌△CDE，推出HF=DE，由AH=AD，推出Rt△AHF≌Rt△ADE，推出∠BAH=∠CAD，由∠ABH=∠ACD，BH=CD，再证明△ABH≌△ACD即可解决问题.

（1）如图，延长CD至点Q，使BQ=AB，

∵AD⊥BC于D，

∴∠ADC=∠ADQ=90°，

∵AB+BD=CD，AB=BQ，

∴BD+BQ=DQ=DC，

∵AD=AD，

∴△ADQ≌△ADC（SAS），

∴△ADC≌△ADQ的理由是（SAS）；

（2）∵△ADQ≌△ADC

∴∠Q=∠C，

∵BA=BQ，

∴∠Q=∠BAQ，

∵∠ABC=∠Q+∠BAQ，

∴∠ABC=2∠C，

∵∠BAC=120°，

∴3∠C=60°，

∴∠C=20°；

（3）AB=AC，

理由：如图，在MB上截取MH=DM，连接AH、AD．作HF⊥AB于F，作DE⊥AC于E．

∵AM⊥DH，MH=MD，

∴AH=AD，

∵BM=DM+DC=BH+MH，

∵CD=BH，

∵∠DEC=∠HFB=90°，∠HBF=∠DCE，

∴△BHF≌△CDE，

∴HF=DE，

∵AH=AD，

∴Rt△AHF≌Rt△ADE，

∴∠BAH=∠CAD，

∵∠ABH=∠ACD，BH=CD，

∴△ABH≌△ACD，

∴AB=AC．