【题目】如图,在平行四边形ABCD中,连接AC,做△ABC的外接圆⊙O,延长EC交⊙O于点D,连接BD、AD,BC与AD交于点F分,∠ABC=∠ADB。
(1)求证:AE是⊙O的切线;
(2)若AE=12,CD=10,求⊙O的半径。
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)作辅助线,先根据垂径定理得:OA⊥BC,再证明OA⊥AE,则AE是⊙O的切线;
(2)连接OC,证明△ACE∽△DAE,得,计算CE的长,设⊙O的半径为r,根据勾股定理得:r2=62+(r-2)2,解出可得结论.
(1)证明:连接OA,交BC于G,
∵∠ABC=∠ADB.∠ABC=∠ADE,
∴∠ADB=∠ADE,
∴,
∴OA⊥BC,
∵四边形ABCE是平行四边形,
∴AE∥BC,
∴OA⊥AE,
∴AE是⊙O的切线;
(2)连接OC,
∵AB=AC=CE,
∴∠CAE=∠E,
∵四边形ABCE是平行四边形,
∴BC∥AE,∠ABC=∠E,
∴∠ADC=∠ABC=∠E,
∴△ACE∽△DAE,,
∵AE=12,CD=10,
∴AE2=DECE,
144=(10+CE)CE,
解得:CE=8或-18(舍),
∴AC=CE=8,
∴Rt△AGC中,AG==2,
设⊙O的半径为r,
由勾股定理得:r2=62+(r-2)2,
r=,
则⊙O的半径是.
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【题目】如图,AB是⊙O的弦,过AB的中点E作EC⊥OA,垂足为C,过点B作直线BD交CE的延长线于点D,使得DB=DE.
(1)求证:BD是⊙O的切线;
(2)若AB=12,DB=5,求△AOB的面积.
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【题目】如图,在△ABC中,点D、E、F分别是边AB、AC、BC的中点,要判定四边形DBFE是菱形,下列所添加条件不正确的是( )
A. AB=AC B. AB=BC C. BE平分∠ABC D. EF=CF
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,过点B作⊙O的切线BM,弦CD//BM,交AB于点F,且,连接AC,AD,延长AD交BM于点E.
(l)求证:△ACD是等边三角形;
(2)连接OE,若DE=2,求OE的长.
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【题目】二次函数y=ax+bx+c(a,b,c为常数)中的x与y的部分对应值如表所示:
x | -1 | 0 | 1 | 3 |
y |
| 3 | 3 |
下列结论:
(1)abc<0
(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小;
(3)16a+4b+c<0
(4)x=3是方程ax+(b-1)x+c=0的一个根;其中正确的个数为( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
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【题目】已知关于x的一元二次方程有实数根.
(1)求m的值;
(2)先作的图象关于x轴的对称图形,然后将所作图形向左平移3个单位长度,再向上平移2个单位长度,写出变化后图象的解析式.
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【题目】小明同学报名参加学校运动会,有以下4个项目可供选择:
径赛项目:100m,200m,分别用、、表示;
田赛项目:立定跳远用B表示.
小明从4个项目中任选一个,恰好是径赛项目的概率为______;
小明从4个项目中任选两个,利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果,并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=m,BC=8,E为线段BC上的动点(不与B,C重合),连接DE,作EF⊥DE,EF与射线BA交于点F,设CE=x,BF=y,若,当DEF为等腰三角形时,m的值为_________.
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【题目】如图1,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=13,BD=24,在菱形ABCD的外部以AB为边作等边三角形 ABE.点F是对角线BD上一动点(点F不与点B重合),将线段AF绕点A顺时针方向旋转60°得到线段AM,连接FM.
(1)求AO的长;
(2)如图2,当点F在线段BO上,且点M,F,C三点在同一条直线上时,求证:AC=AM;
(3)连接EM,若△AEM的面积为40,请直接写出△AFM的周长.
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