Question

【题目】如图，AD是等边三角形ABC的高，点E是AD上的一个动点（点E不与点A重合），连接CE，将线段CE绕点E顺时针旋转60°得到EF，连接BF、CF．

（1）猜想：△CEF是　三角形；

（2）求证：AE＝BF；

（3）若AB＝4，连接DF，在点E运动的过程中，请直接写出DF的最小值　　．

Answer 1

【答案】（1）等边；（2）见解析；（3）1

【解析】

（1）根据旋转的性质和有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证明即可．

（2）根据等边三角形的性质证明△ACE≌△BCF即可解决问题．

（3）根据等边三角形的性质和全等的性质可证明∠CBF＝∠CAE＝30°，推出点F的运动轨迹是射线BF（与BC的夹角为30°），再根据垂线段最短解决问题即可．

（1）解：结论：△CEF是等边三角形．

理由：由旋转可知，CE＝EF，

∵CE＝EF，∠CEF＝60°，

∴△CEF是等边三角形，

故答案为：等边．

（2）证明：∵△ABC，△CEF都是等边三角形，

∴CA＝CB，CE＝CF，∠ACB＝∠ECF＝60°，

∴∠ACE＝∠BCF，

∴△ACE≌△BCF（SAS），

∴AE＝BF．

（3）解：∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC＝60°，AB＝BC＝4，

∵AD⊥BC，

∴∠CAD＝∠BAD＝30°，BD＝CD＝2，

∵△ACE≌△BCF，

∴∠CAE＝∠CBF＝30°，

∴点F的运动轨迹是射线BF（与BC的夹角为30°），

∴当DF⊥BF时，DF的值最小，最小值＝BD＝，

故答案为：1．