Question

【题目】我们在学习《从面积到乘法公式》时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了单项式乘多项式的运算法则：m（a+b+c）＝ma+mb+mc（如图1），多项式乘多项式的运算法则：

（a+b）（c+d）＝ac+ad+bc+bd（如图2），以及完全平方公式：（a+b）2＝a2+2ab+b2（如图3）．

把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．

（1）请设计两个图形说明一下两个等式成立（画出示意图，并标上字母）

①（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2

②（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc

（2）如图4，它是由四个形状、大小完全相同的直角三角形与中间的小正方形EFGH拼成的一个大正方形ABCD．如果每个直角三角形的较短的边长为a，较长的边长为b，最长的边长为c．试用两种不同的方法计算这个大正方形的面积，你能发现直角三角形的三边长a、b、c的什么数量关系？（注：写出解答过程）

Answer 1

【答案】（1）①如图1，见解析；②如图2，见解析；（2）a2+b2＝c2．

【解析】

（1）①根据图1、图2、图3类比画出即可；

②由题意可得图形为边长是a+b+c的正方形；

（2）先求出小正方形和四个三角形的面积并求和，再用正方形公式求大正方形的面积，然后根据面积相等列出等式，最后化简即可解答.

解：（1）①如图1，（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，

②如图2，（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，

（2）如图4，小正方形的面积＝c2﹣ab×4＝c2﹣2ab＝（b﹣a）2，

即a2+b2＝c2．