Question

6．己知：一张矩形纸片记作矩形ABCD，CD=3，AD=8，点E是边BC上的点，连结DE，将△DEC沿着DE所在的直线折叠，记点C的对称点为点C′，C′E所在的直线交边AD于点F，设EC=x．
（1）若点C′恰好落在边AD上，求x的值．
（2）①若点C′落在矩形ABCD内部，求证：△FED是等腰三角形．
②当△FED是等边三角形时，x=$\sqrt{3}$（直接写出答案）
（3）当x=6时，△FED的面积=$\frac{45}{8}$（直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）只要证明△EDC是等腰三角形即可．
（2）①欲证明△DEF是等腰三角形，只要证明∠FED=∠FDE即可．
②在Rt△DEC中，根据EC=DC•tan30°即可解决问题．
（3）如图4中，作EM⊥AD于M．设FE=FD=x，在Rt△DEM中，∵FM=DM-DF=EC-DF=6-x，EM=CD=3，利用勾股定理列出方程即可．

解答 解：（1）如图1中，

点C′恰好落在边AD上时，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠ADC=90°，
由折叠的性质可知∠EDC=∠EDF=45°，
∵∠C=∠EC′D=90°，
∴△DEC′，△DEC都是等腰直角三角形，
∴x=EC=CD=3，

（2）①如图2中，

点C′落在矩形ABCD内部时，∵∠DEC=∠DEC′，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FDE=∠DEC，
∴∠FED=∠FDE，
∴FE=FD，
∴△DEF是等腰三角形．

②如图3，

∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE=60°，
∴∠EDC=90°-∠FDE=30°，
在Rt△DEC中，EC=DC•tan30°=3×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\sqrt{3}$．
∴x=$\sqrt{3}$，
故答案为$\sqrt{3}$．
（3）如图4中，作EM⊥AD于M．

∵∠CED=∠DEF=∠FDE，
∴FE=FD，设FE=FD=x，
在Rt△DEM中，∵FM=DM-DF=EC-DF=6-x，EM=CD=3，
∴3²+（6-x）²=x²，
∴x=$\frac{15}{4}$，
∴EF=$\frac{15}{4}$，
∴S_△EFD=$\frac{1}{2}$•EF•DC′=$\frac{1}{2}$×$\frac{15}{4}$×3=$\frac{45}{8}$．
故答案为$\frac{45}{8}$．

点评 本题考查四边形综合题、矩形的性质、等边三角形的性质、翻折变换等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．