Question

10．梯形的底为a，b，且a＞b，对角线长为c，d，且c＞d，求面积．

Answer 1

分析 过D点作AC的平行线交BC的延长线于E点，将梯形的上、下底的和，两条对角线平移到同一三角形中，用勾股定理的逆定理证明直角三角形，再将梯形面积转化为求△BDE的面积．

解答 解：如图，过D点作AC的平行线交BC的延长线于E点，过D作DM⊥BC于M，

∵AD∥BC，
∴四边形ACED为平行四边形，
∴AD=CE=b，AC=DE=c，
∴求梯形面积可转化为求△BDE的面积，
设BM=x，则EM=a+b-x，
由勾股定理得：c²-（a+b-x）²=d²-x²，
解得：x=$\frac{{d}^{2}-{c}^{2}+（a+b）^{2}}{2（a+b）}$，
∴DM=$\sqrt{{d}^{2}-（\frac{{d}^{2}-{c}^{2}+（a+b）^{2}}{2（a+b）}）^{2}}$
∴梯形面积=三角形BDE的面积=$\frac{1}{2}$（a+b）$\sqrt{{d}^{2}-（\frac{{d}^{2}-{c}^{2}+（a+b）^{2}}{2（a+b）}）^{2}}$．

点评 此题考查梯形，勾股定理，掌握梯形的性质与解决梯形问题常用作辅助线的方法是关键．