Question

5．已知平面直角坐标系xOy，抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c经过点A（-3，0）、C（0，-$\frac{3}{2}$）．
（1）求该抛物线顶点P的坐标；
（2）过C作AC的垂线，求此垂线的函数关系式；
（3）在抛物线求点Q，使∠QAC=∠PAC．

Answer 1

分析 （1）将已知点的坐标代入到给定的函数的解析式中求解即可；
（2）首先求得直线AC的函数解析式，而此垂线的函数关系式的系数k与AC解析式的系数k互为负倒数，得出C，再进一步求得解析式即可；
（3）求得直线AP与AC的垂线的交点，进一步利用三线合一求得过AQ的直线，与二次函数联立方程求得答案即可．

解答 解：（1）将A（-3，0）、C（0，-$\frac{3}{2}$）．代入y=$\frac{1}{2}$x²+bx+c得
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}-3b+c=0}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
 解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=-\frac{3}{2}}\end{array}\right.$
所以抛物线的表达式为y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$．
其顶点P的坐标为（-1，-2）．
（2）设经过点A（-3，0）、C（0，-$\frac{3}{2}$）的直线y_AC=kx+b，
代入点解得y_AC=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
设过C作AC的垂线的函数解析式为y=2x+b，代入点过C（0，-$\frac{3}{2}$），
解得y=2x-$\frac{3}{2}$．
（3）如图，

经过点A（-3，0）、P（-1，-2）的直线y_AP=-x-3，
与直线y=2x-$\frac{3}{2}$交于点M（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{5}{2}$），
∵∠QAC=∠PAC，AC⊥MN，
∴MC=NC，
∴点N的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
∴经过点A（-3，0）、N（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）的直线y_AN=-$\frac{1}{7}$x-$\frac{3}{7}$，
∵抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$与直线y_AN=-$\frac{1}{7}$x-$\frac{3}{7}$交于点Q，
∴$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{3}{2}$=-$\frac{1}{7}$x-$\frac{3}{7}$，
解得x=$\frac{5}{7}$，x=-3（不合题意，舍去）
∴y=-$\frac{26}{49}$
∴点Q为（$\frac{5}{7}$，-$\frac{26}{49}$）．

点评 此题主要考查了二次函数的综合题目，利用待定系数法求二次函数解析与一次函数解析式，等腰三角形的判定与性质（三线合一），结合图形灵活运用数形结合解决问题．