Question

【题目】如图，已知等边△ABC中边AB=10，按要求解答：

（1）尺规作图：作∠PBA，使得∠PBA=30°，射线BP交边AC于点P，（不写作法，保留作图痕迹）．

（2）在上图中，若点D在射线BP上，且使得AD=5，求BD的长（结果保留根号）．

Answer 1

【答案】（1）作图见解析；（2）BD长为5-5或5+5．

【解析】

（1）B为圆心，任意长度为半径作弧，分别交BC和BA于点M、N，分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于一点，连接B和该点交AC于点P即可；

（2）根据三线合一可得BP⊥AC，从而求出BP和AP，然后根据点D的位置分类讨论，根据勾股定理求出PD，即可求出结论．

解：（1）B为圆心，任意长度为半径作弧，分别交BC和BA于点M、N，分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径作弧，两弧交于一点，连接B和该点交AC于点P，根据等边三角形的性质和角平分线的定义可得∠PAB=30°，如图所示，点P即为所求．

（2）∵△ABC为等边三角形，∠PBA=30°，

∴BP平分∠ABC，

∴BP⊥AC，

在Rt△ABP中，BP=AP=5，

AP=AB=5＜5，

∴分两种情况，

1）若D在线段BP上，

在Rt△ADP中，PD===5，

此时BD=BP-PD=5-5；

2）若D在BP延长线上，由1）可知PD=5，

∴BD=PD+BP=5+5，

综上：BD长为5-5或5+5．