Question

【题目】如图，已知△ABC内接于⊙O，D是⊙O上一点，连接BD、CD、AC、BD交于点E．

（1）请找出图中的相似三角形，并加以证明；

（2）若∠D＝45°，BC＝2，求⊙O的面积．

Answer 1

【答案】（1）△ABE∽△DCE，证明详见解析；（2）2π．

【解析】

（1）容易发现：△ABE与△DCE中，有两个角对应相等，根据相似三角形的判定可得到它们相似；

（2）求⊙O的面积，关键是求⊙O的半径，为此作⊙O的直径BF，连接CF，得出△BCF是等腰直角三角形，由BC＝2，求出BF的长，从而求出⊙O的面积．

解：（1）结论：△ABE∽△DCE，

证明：在△ABE和△DCE中，

∵∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC，

∴△ABE∽△DCE．

（2）作⊙O的直径BF，连接CF，

∴∠F＝∠D＝45°，∠BCF＝90°．

∴△BCF是等腰直角三角形．

∵FC＝BC＝2，

∴BF＝2．

∴OB＝．

∴S⊙O＝OB2π＝2π．