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【题目】中,分别是两边的中点,如果上的所有点都在的内部或边长,则称的中内弧.例如下图中的一条中内弧.

1)如图,在中,分别是的中点.画出的最长的中内弧,并直接写出此时的长;

2)在平面直角坐标系中,已知点分别是的中点.

①若,直接写出的中内弧所在圆的圆心的纵坐标的取值范围;

②若在中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心的内部或边长,直接写出的取值范围;

③若在中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心的内部或边长,则的最小值为__________

【答案】(1)图见解析,;(2)①;②;③

【解析】

1)先根据中内弧的概念确认最长时圆的位置,再根据等腰直角三角形、勾股定理求解即可;

2)①结合(1)中的结论确定中内弧为最长弧时的位置,从而得到临界位置,再利用数形结合确定点P的纵坐标的取值范围即可;

②先分别求出点P在两个临界位置(即在x轴上和在BC上)时t的值,再根据中内弧的定义、相似三角形的判定与性质即可得出t的取值范围;

③先参照②的方法,求出t的取值范围,再根据三角函数值求出,然后根据二次函数的性质求出的取值范围,从而可得出答案.

1)由题意可知,的圆心在DE的垂直平分线上,即在BC的垂直平分线上,当圆心为DE的中点时,BC相切,此时的最长的中内弧

分别是的中点

所在圆的半径为

的长为

2)①如图,当时,

由题意知,中内弧所在圆的圆心DF的垂直平分线PQ上,即在

分以下两种情况:

当中内弧DF下方时

由(1)可知,当PDF中点时是一个临界位置

此时,点P坐标为

由中内弧的定义可知,当点P纵坐标时,所有的都是中内弧

当中内弧DF上方时

PBC相切是一个临界位置,此时

由中位线定理得

是等腰直角三角形,

,即

由中内弧的定义可知,当点P纵坐标时,所有的都是中内弧

综上,纵坐标的取值范围为

分别是的中点

如图,当点PAC上,且圆PBC相切于点F时,则

过点F

,即

解得(舍去)

则当时,中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心的内部或边长

如图,当点P在BC上时,圆P与AC相切于点N,则

,即

,即

解得

则当时,中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心的内部或边长

综上,所求的t的取值范围为

分别是的中点

如图,当点Q在AC上,且圆Q与BC相切于点G,连接DQ

,则

,即

解得

中,,即

代入解得:(其中,负值不符题意,舍去)

则当时,中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心的内部或边长

如图,当点Q在BC上时,圆Q与分别相切于点,连接

则四边形ADQE是正方形,

由中位线定理得

,解得

则当时,中存在一条中内弧,使得所在圆的圆心的内部或边长

综上,t的取值范围为

要使的最小,则要取得最大值

由二次函数的性质可知,当时,随着的增大而增大

则当时,取得最大值,最大值为

因此,的最小值为

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(1)求出y与x的函数关系式;

(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时,每本纪念册的销售单价是多少元?

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t(秒)

0

0.16

0.2

0.4

0.6

0.64

0.8

x(米)

0

0.4

0.5

1

1.5

1.6

2

y(米)

0.25

0.378

0.4

0.45

0.4

0.378

0.25

(1)如果y是t的函数,

①如图,在平面直角坐标系tOy中,描出了上表中y与t各对对应值为坐标的点.请你根据描出的点,画出该函数的图象;

②当t为何值时,乒乓球达到最大高度?

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