Question

【题目】如图所示，点P位于等边△ABC的内部，且∠ACP=∠CBP．

(1)延长BP至点D，使得PD=PC，连接AD，CD．

①依题意，补全图形；

②证明：AD+CD=BD；

(2)在(1)的条件下，若BD的长为2，求四边形ABCD的面积．

Answer 1

【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）

【解析】

（1）①利用延长线作法得出D点位置，并连接AD，CD．

②先证明△CDP是等边三角形，再证明∠DCA≌△PCB，然后利用全等三角形的性质解答即可；

（2）作CM⊥BD于M，AN⊥BD于N，由锐角三角函数的知识得CM=CDsin60°，AN=ADsin60°，然后根据S四边形ABCD=S△BDC+S△BDA计算即可．

解：（1）①如图所示，

②证明：：∵△ABC是等边三角形，

∴∠ACB=60°，

∴∠PCA+∠PCB=60°，

∵∠PCA=∠CBP，

∴∠PCB+∠PBC=60°，

∴∠BPC=180°-60°=120°，

∵∠CPD=180°-∠BPC=60°，PD=PC，

∴△CDP是等边三角形，

∴CD=CP，∠DCP=∠ACB=60°，

∴∠DCA=∠PCB，

∴△DCA≌△PCB(SAS)，

∴AD=PB，

∴BD=PB+PD=AD+DC；

（2）如图，作CM⊥BD于M，AN⊥BD于N．

∵△DCA≌△PCB，

∴∠ADC=∠BPC=120°，

∴∠ADP=60°，

∴CM=CDsin60°，AN=ADsin60°，

∴S四边形ABCD=S△BDC+S△BDA

=BDCM+BDAN

=BDsin60°(CD+AD)

=×2××2=．