Question

19．PA为⊙O的切线，A是切点，PBC为割线，E是AB的中点，PE的延长线交AC于点F．求证：$\frac{P{A}^{2}}{P{C}^{2}}$=$\frac{AF}{FC}$．

Answer 1

分析 根据切割线定理得出PA²=PB•PC，两边除以PC²得$\frac{P{A}^{2}}{P{C}^{2}}$=$\frac{PB•PC}{P{C}^{2}}$=$\frac{PB}{PC}$，作BG∥AF，交PE于G，根据三角形相似证得$\frac{BG}{AF}$=$\frac{BE}{AE}$=1，$\frac{PB}{PC}$=$\frac{BG}{FC}$，即可证得$\frac{PB}{PC}$=$\frac{BG}{FC}$=$\frac{AF}{FC}$，进一步证得结论．

解答 证明：如图，∵PA为⊙O的切线，A是切点，PBC为割线，
∴PA²=PB•PC，
∴$\frac{P{A}^{2}}{P{C}^{2}}$=$\frac{PB•PC}{P{C}^{2}}$=$\frac{PB}{PC}$，
作BG∥AF，交PE于G，
∴△BEG∽△AEF，△PBG∽△PCF，
∴$\frac{BG}{AF}$=$\frac{BE}{AE}$，$\frac{PB}{PC}$=$\frac{BG}{FC}$，
∵AE=BE，
∴$\frac{BG}{AF}$=$\frac{BE}{AE}$=1，
∴BG=AF，
∴$\frac{PB}{PC}$=$\frac{BG}{FC}$=$\frac{AF}{FC}$，
∴$\frac{P{A}^{2}}{P{C}^{2}}$=$\frac{AF}{FC}$．

点评 本题考查了切线的性质，切割线定理的应用，三角形相似的判定和性质，作出辅助线构建相似三角形是解题的关键．