Question

16．如图，C为∠AOB的边OA上一点，OC=6，N为边OB上异于点O的一动点，P是线段CN上一点，过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M．
（1）若∠AOB=60°，OM=4，OQ=1，求证：CN⊥OB．
（2）当点N在边OB上运动时，四边形OMPQ始终保持为菱形．
①问：$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由．
②设菱形OMPQ的面积为S₁，△NOC的面积为S₂，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）过P作PE⊥OA于E，利用两组对边平行的四边形为平行四边形得到OMPQ为平行四边形，利用平行四边形的对边相等，对角相等得到PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，进而求出PE与ME的长，得到CE的长，求出tan∠PCE的值，利用特殊角的三角函数值求出∠PCE的度数，得到PM于NC垂直，而PM与ON平行，即可得到CN与OB垂直；
（2）$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值不发生变化，理由如下：设OM=x，ON=y，根据OMPQ为菱形，得到PM=PQ=OQ=x，QN=y-x，根据平行得到三角形NQP与三角形NOC相似，由相似得比例即可确定出所求式子的值；
②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，表示出菱形OMPQ的面积为S₁，△NOC的面积为S₂，得到$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$，由PM与OB平行，得到三角形CPM与三角形CNO相似，由相似得比例求出所求式子$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的范围即可．

解答 解：（1）过P作PE⊥OA于E，
∵PQ∥OA，PM∥OB，
∴四边形OMPQ为平行四边形，
∴PM=OQ=1，∠PME=∠AOB=60°，
∴PE=PM•sin60°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，ME=$\frac{1}{2}$，
∴CE=OC-OM-ME=$\frac{3}{2}$，
∴tan∠PCE=$\frac{PE}{CE}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴∠PCE=30°，
∴∠CPM=90°，
又∵PM∥OB，
∴∠CNO=∠CPM=90°，
则CN⊥OB；
（2）①$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$的值不发生变化，理由如下：
设OM=x，ON=y，
∵四边形OMPQ为菱形，
∴OQ=QP=OM=x，NQ=y-x，
∵PQ∥OA，
∴∠NQP=∠O，
又∵∠QNP=∠ONC，
∴△NQP∽△NOC，
∴$\frac{QP}{OC}$=$\frac{NQ}{ON}$，即$\frac{x}{6}$=$\frac{y-x}{y}$，
∴6y-6x=xy．两边都除以6xy，得$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{y}$=$\frac{1}{6}$，即$\frac{1}{OM}$-$\frac{1}{ON}$=$\frac{1}{6}$．
②过P作PE⊥OA于E，过N作NF⊥OA于F，
则S₁=OM•PE，S₂=$\frac{1}{2}$OC•NF，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{x•PE}{3NF}$．
∵PM∥OB，
∴∠PMC=∠O，
又∵∠PCM=∠NCO，
∴△CPM∽△CNO，
∴$\frac{PE}{NF}$=$\frac{CM}{CO}$=$\frac{6-x}{6}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{x（6-x）}{18}$=-$\frac{1}{18}$（x-3）²+$\frac{1}{2}$，
∵0＜x＜6，
则根据二次函数的图象可知，0＜$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$≤$\frac{1}{2}$．

点评 此题属于相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，二次函数的性质，平行四边形的判定与性质，以及菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．