Question

16．如图所示，△ABC是等边三角形，点D为AB上一点，现将△ABC沿EF折叠，使得顶点A与D点重合，且FD⊥BC，则$\frac{AE}{AF}$的值等于（　　）

• A． $\frac{4}{3}$
• B． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}+1}}{3}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}+1}}{2}$

Answer 1

分析 过点E作EG⊥BC，由翻折性质知AE=DE、AF=DF、∠A=∠EDF=60°，设EG=x，在Rt△DEG中表示出AE=DE=2EG=2x、DG=$\sqrt{3}$x，继而在Rt△BEG中求得BE=$\frac{EG}{sinB}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x、BG=$\frac{EG}{tanB}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，即可得AB=BC=AE+BE=$\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$x、CD=BC-BD=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$x，从而得出AF=DF=CDtanC=（2$\sqrt{3}$-2）x，即可得出答案．

解答 解：如图，过点E作EG⊥BC于点G，

由题意知AE=DE、AF=DF、∠A=∠EDF=60°，
设EG=x，
∵FD⊥BC，
∴∠FDC=90°，
∴∠EDG=30°，
则AE=DE=2EG=2x，DG=$\sqrt{D{E}^{2}-E{G}^{2}}$=$\sqrt{3}$x，
∴BE=$\frac{EG}{sinB}$=$\frac{x}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x，BG=$\frac{EG}{tanB}$=$\frac{x}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴BC=AB=AE+BE=2x+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$x=$\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$x，
∵CD=BC-BD=$\frac{6+2\sqrt{3}}{3}$x-（$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+$\sqrt{3}$x）=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$x，
∴AF=DF=CDtanC=$\frac{6-2\sqrt{3}}{3}$x•$\sqrt{3}$=（2$\sqrt{3}$-2）x，
∴$\frac{AE}{AF}$=$\frac{2x}{（2\sqrt{3}-2）x}$=$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$，
故选：D．

点评 本题主要考查翻折变换的性质与解直角三角形的应用，熟练掌握翻折变换的性质得出对应边、对应角相等和解直角三角形的能力是解题的关键．